Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., § 123, упражнение 1243

Условие (кратко)

Докажите, что при движении четырёхугольник отображается на четырёхугольник.

Решение

Дано: четырёхугольник $$ABCD$$ , при движении $A, B, C, D \to A_1, B_1, C_1, D_1$ . Доказать: $$A_1B_1C_1D_1$$ — четырёхугольник.

Стороны $$AB$$ , $$BC$$ , $$CD$$ , $$DA$$ переходят в отрезки $$A_1B_1$$ , $$B_1C_1$$ , $$C_1D_1$$ , $$D_1A_1$$ (теорема п. 123).
Никакие три из точек $$A_1, B_1, C_1, D_1$$ не лежат на одной прямой. Например, если бы $$A_1, B_1, C_1$$ лежали на прямой, одна из них лежала бы между двумя другими, скажем $$A_1B_1 + B_1C_1 = A_1C_1$$ . Расстояния сохраняются, поэтому $$AB + BC = AC$$ и точка $$B$$ лежит на отрезке $$AC$$ — но у четырёхугольника три вершины не лежат на одной прямой. Противоречие.
Несмежные отрезки, например $$A_1B_1$$ и $$C_1D_1$$ , не имеют общих точек. Иначе общая точка была бы образом точки $P \in AB$ и точки $Q \in CD$ . При движении разные точки переходят в разные (расстояние между ними не равно нулю и сохраняется), значит, $$P = Q$$ — общая точка сторон $$AB$$ и $$CD$$ , чего нет. Противоречие.

Значит, отрезки $$A_1B_1$$ , $$B_1C_1$$ , $$C_1D_1$$ , $$D_1A_1$$ образуют четырёхугольник.

Ответ

Утверждение доказано — четырёхугольник переходит в четырёхугольник

Почему так

Отрезки переходят в отрезки, три точки не на одной прямой — в три точки не на одной прямой, а разные точки — в разные.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Упражнение 1243 к § 123