Задача 1
Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.
Решение
Дано: \(a \parallel b\), при движении прямые \(a\) и \(b\) переходят в \(a_1\) и \(b_1\). Доказать: \(a_1 \parallel b_1\).
-
При движении прямая переходит в прямую, поэтому \(a_1\) и \(b_1\) — прямые.
-
Предположим противное: \(a_1\) и \(b_1\) имеют общую точку \(P_1\). Она — образ некоторой точки \(P \in a\) и некоторой точки \(Q \in b\). Прямые \(a\) и \(b\) не имеют общих точек, поэтому \(P \ne Q\) и \(PQ > 0\).
-
Движение сохраняет расстояния, значит, образы \(P\) и \(Q\) находятся на расстоянии \(PQ > 0\), то есть различны. Но оба образа — точка \(P_1\). Противоречие.
Значит, \(a_1\) и \(b_1\) не имеют общих точек, то есть \(a_1 \parallel b_1\).
Ответ
Доказательство от противного — общая точка образов была бы образом двух разных точек, а движение переводит разные точки в разные.
Подробнее — в теме «Понятие движения».