Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 123

Упражнение 1245 к § 123

§ 123. Понятие движения плоскости · тема: Понятие движения

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что при движении параллелограмм отображается на параллелограмм.

Решение

Дано: параллелограмм $$ABCD$$ , при движении он переходит в $$A_1B_1C_1D_1$$ . Доказать: $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.

По задаче 1243 $$A_1B_1C_1D_1$$ — четырёхугольник.
Расстояния сохраняются: $$A_1B_1 = AB$$ , $$C_1D_1 = CD$$ , $$B_1C_1 = BC$$ , $$D_1A_1 = DA$$ . У параллелограмма $$AB = CD$$ и $$BC = DA$$ , поэтому $$A_1B_1 = C_1D_1$$ и $$B_1C_1 = D_1A_1$$ .
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, — параллелограмм.

Ответ

Утверждение доказано — параллелограмм переходит в параллелограмм

Почему так

Противоположные стороны образа попарно равны — признак параллелограмма.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Задача 2

Условие (кратко)

Докажите, что при движении трапеция отображается на трапецию.

Решение

Дано: трапеция $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ , при движении она переходит в $$A_1B_1C_1D_1$$ . Доказать: $$A_1B_1C_1D_1$$ — трапеция.

По задаче 1243 $$A_1B_1C_1D_1$$ — четырёхугольник. Так как $AD \parallel BC$ , по задаче 1244 $A_1D_1 \parallel B_1C_1$ .
Предположим, что и $A_1B_1 \parallel C_1D_1$ . Тогда $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм и $$A_1D_1 = B_1C_1$$ . Расстояния сохраняются, значит, $$AD = BC$$ . Но четырёхугольник $$ABCD$$ , у которого две стороны $$AD$$ и $$BC$$ параллельны и равны, — параллелограмм, а у трапеции боковые стороны не параллельны. Противоречие.
Итак, у $$A_1B_1C_1D_1$$ ровно одна пара параллельных сторон — это трапеция.

Ответ

Утверждение доказано — трапеция переходит в трапецию

Почему так

Параллельность оснований сохраняется, а если бы параллельными стали и боковые стороны, основания исходной трапеции были бы равны.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Задача 3

Условие (кратко)

Докажите, что при движении ромб отображается на ромб.

Решение

Дано: ромб $$ABCD$$ , при движении он переходит в $$A_1B_1C_1D_1$$ . Доказать: $$A_1B_1C_1D_1$$ — ромб.

Ромб — параллелограмм, поэтому по пункту а) $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.
Расстояния сохраняются, поэтому $$A_1B_1 = AB$$ , $$B_1C_1 = BC$$ , $$C_1D_1 = CD$$ , $$D_1A_1 = DA$$ , а у ромба все стороны равны. Значит, все стороны $$A_1B_1C_1D_1$$ равны.

Параллелограмм с равными сторонами — ромб.

Ответ

Утверждение доказано — ромб переходит в ромб

Почему так

Образ — параллелограмм, и все его стороны равны сторонам ромба.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Задача 4

Условие (кратко)

Докажите, что при движении прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.

Решение

Дано: прямоугольник (квадрат) $$ABCD$$ , при движении он переходит в $$A_1B_1C_1D_1$$ . Доказать: $$A_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольник (квадрат).

Прямоугольник — параллелограмм, поэтому по пункту а) $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.
Угол $$ABC$$ переходит в угол $$A_1B_1C_1$$ , а при движении угол переходит в равный угол (задача 1242). Значит, $\angle A_1B_1C_1 = 90^\circ$ . Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
Если $$ABCD$$ — квадрат, то $$A_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольник (пункт 2), и его стороны равны сторонам квадрата, то есть равны между собой. Прямоугольник с равными сторонами — квадрат.

Ответ

Утверждение доказано — прямоугольник переходит в прямоугольник, квадрат — в квадрат

Почему так

Образ параллелограмма — параллелограмм, прямой угол переходит в прямой, длины сторон сохраняются.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки