Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 123

Упражнение 1246 к § 123

§ 123. Понятие движения плоскости · тема: Понятие движения

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ радиуса $$R$$ , при движении $O \to O_1$ . Доказать: окружность переходит в окружность с центром $$O_1$$ радиуса $$R$$ .

Пусть $$M$$ — точка окружности, $$M_1$$ — её образ. Тогда $$OM = R$$ , и так как расстояния сохраняются, $$O_1M_1 = OM = R$$ . Значит, $$M_1$$ лежит на окружности с центром $$O_1$$ радиуса $$R$$ .
Обратно, пусть $$P_1$$ — любая точка этой окружности. Движение — преобразование плоскости, поэтому $$P_1$$ — образ некоторой точки $$P$$ . Тогда $$OP = O_1P_1 = R$$ , то есть $$P$$ лежит на данной окружности.

Значит, окружность отображается на окружность с центром $$O_1$$ того же радиуса $$R$$ .

Ответ

Утверждение доказано — образ окружности — окружность того же радиуса

Почему так

Все точки окружности удалены от центра на R, и это расстояние при движении сохраняется.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Задача 1

Похожие задачи для тренировки