Задача 1
Даны две прямые a и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью a.
Решение
Осевая симметрия — движение, а при движении прямая переходит в прямую. Значит, достаточно построить образы двух точек прямой \(b\).
-
Если \(b\) совпадает с \(a\), её образ — сама \(a\). Если \(b \perp a\), образ — сама \(b\) (задача 1240).
-
Иначе возьмём на \(b\) две точки \(P\) и \(Q\). Если \(b\) пересекает \(a\) в точке \(O\), удобно взять \(P = O\): точки оси неподвижны.
-
Построим точку \(Q_1\), симметричную \(Q\): проведём окружность с центром \(Q\), пересекающую \(a\) в точках \(X\) и \(Y\); затем окружности с центрами \(X\) и \(Y\) радиусами \(XQ\) и \(YQ\). Вторая точка их пересечения — \(Q_1\) (прямая \(XY\) — серединный перпендикуляр к \(QQ_1\)). Так же строим \(P_1\) (если \(P \ne O\)).
-
Проводим прямую \(P_1Q_1\) — это искомая прямая \(b_1\).
Если \(b \parallel a\), прямая \(b_1\) параллельна \(a\) и лежит от неё на том же расстоянии по другую сторону; если \(b\) пересекает \(a\) в точке \(O\), то \(b_1\) проходит через \(O\).
Ответ
Осевая симметрия — движение и переводит прямую в прямую, поэтому прямая определяется образами двух своих точек.
Подробнее — в теме «Понятие движения».