Задача 1
(Задание для работы в группе.) Верно ли, что а) фигуры, симметричные относительно точки O, получаются одна из другой центральной симметрией; б) симметричные относительно прямой p — осевой симметрией; в) фигуры, полученные одна из другой движением, симметричны относительно некоторой прямой?
Решение
а) Верно. «\(F\) и \(F_1\) симметричны относительно \(O\)» означает, что \(F_1\) состоит из точек, симметричных точкам \(F\) относительно \(O\), — это и есть образ \(F\) при центральной симметрии с центром \(O\).
б) Верно. Если \(M_1\) симметрична \(M\) относительно \(p\), то и \(M\) симметрична \(M_1\) (отрезок \(MM_1\) тот же). Поэтому фигура \(F\) — образ \(F_1\) при осевой симметрии с осью \(p\).
в) Неверно. Контрпример: отрезок \(AB\) и точка \(O\) вне прямой \(AB\), причём \(OA \ne OB\); при центральной симметрии с центром \(O\) отрезок переходит в \(A_1B_1\), и \(ABA_1B_1\) — параллелограмм (диагонали \(AA_1\) и \(BB_1\) делятся точкой \(O\) пополам), но не прямоугольник, так как \(AA_1 \ne BB_1\). Если бы прямая \(p\) переводила отрезок \(AB\) в \(A_1B_1\), концы переходили бы в концы. При \(A \to A_1\), \(B \to B_1\) ось \(p\) была бы серединным перпендикуляром и к \(AA_1\), и к \(BB_1\); оба проходят через \(O\), но перпендикулярны разным прямым — это разные прямые. При \(A \to B_1\), \(B \to A_1\) симметрия переводила бы и \(A_1\) в \(B\) (симметричность взаимна), то есть отрезок \(AA_1\) — в отрезок \(B_1B\), и было бы \(AA_1 = BB_1\). Противоречие.
Ответ
Симметричность фигур относительно точки или прямой и есть их соответствие при симметрии, но не всякое движение — осевая симметрия.
Подробнее — в теме «Понятие движения».