Задача 1
Даны две прямые a и a₁. Докажите, что существует движение, которое отображает прямую a на прямую a₁.
Решение
Дано: прямые \(a\) и \(a_1\). Доказать: есть движение, переводящее \(a\) в \(a_1\).
-
Если \(a\) и \(a_1\) совпадают, подходит осевая симметрия с осью \(a\): все точки оси неподвижны.
-
Пусть \(a\) и \(a_1\) пересекаются в точке \(O\). Возьмём ось \(p\) — биссектрису одного из углов между ними. Для точки \(M \in a\), \(M \ne O\), симметричная ей точка \(M_1\) лежит на луче, который образует с \(p\) такой же угол, что и луч \(OM\) (прямоугольные треугольники \(OHM\) и \(OHM_1\), где \(H\) — середина \(MM_1\), равны по двум катетам). Это луч прямой \(a_1\), значит, \(M_1 \in a_1\); аналогично каждая точка \(a_1\) — образ точки \(a\). Осевая симметрия с осью \(p\) переводит \(a\) в \(a_1\).
-
Пусть \(a \parallel a_1\). Возьмём точки \(A \in a\), \(B \in a_1\) и середину \(O\) отрезка \(AB\). Прямая \(a\) не проходит через \(O\), поэтому центральная симметрия с центром \(O\) переводит её в прямую, параллельную \(a\) (задача 1241), проходящую через образ точки \(A\) — точку \(B\). Через \(B\) проходит единственная прямая, параллельная \(a\), — это \(a_1\).
Осевая и центральная симметрии — движения, поэтому нужное движение существует в любом случае.
Ответ
Пересекающиеся прямые меняет местами симметрия относительно биссектрисы угла между ними, а параллельные — центральная симметрия.
Подробнее — в теме «Понятие движения».