Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., § 123, упражнение 1255

Условие (кратко)

Докажите, что последовательное выполнение двух движений плоскости является движением плоскости.

Решение

Дано: движения $$g$$ и $$f$$ ; отображение $$h$$ переводит точку $$M$$ в $$M_2$$ , где $$M_1$$ — образ $$M$$ при $$g$$ , $$M_2$$ — образ $$M_1$$ при $$f$$ . Доказать: $$h$$ — движение.

$$h$$ — преобразование плоскости. Каждой точке $$M$$ отвечает одна точка $$M_2$$ . Любая точка $$P$$ — образ при $$f$$ некоторой точки $$Q$$ , а $$Q$$ — образ при $$g$$ некоторой точки $$R$$ , значит, $$P$$ — образ $$R$$ при $$h$$ . Если $$h$$ переводит в одну и ту же точку точки $$R$$ и $$S$$ , то их образы при $$g$$ совпадают (движение $$f$$ переводит разные точки в разные), а тогда $$R = S$$ .
$$h$$ сохраняет расстояния: для любых $$M$$ , $$N$$ получаем $$M_2N_2 = M_1N_1$$ (движение $$f$$ ) и $$M_1N_1 = MN$$ (движение $$g$$ ), то есть $$M_2N_2 = MN$$ .

Значит, $$h$$ — движение.

Ответ

Утверждение доказано — два движения подряд дают движение

Почему так

Каждое из движений сохраняет расстояния, поэтому их последовательное выполнение тоже сохраняет расстояния.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Упражнение 1255 к § 123

Задача 1

Похожие задачи для тренировки