Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 124

Упражнение 1247 к § 124

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.

Решение

Дано: отображение плоскости, при котором каждая точка $$M$$ переходит в себя. Доказать: это наложение.

Это преобразование плоскости: каждой точке сопоставлена одна точка (она сама), и каждая точка — образ ровно одной точки (самой себя).
Оно сохраняет расстояния: для любых точек $$M$$ и $$N$$ их образы — те же точки, поэтому $$M_1N_1 = MN$$ . Значит, это движение.
По теореме п. 124 любое движение является наложением.

Ответ

Утверждение доказано — тождественное отображение — движение, а значит, наложение

Почему так

Тождественное отображение сохраняет расстояния, а любое движение является наложением.

Подробнее — в теме «Понятие движения».