Задача 1
ABC и A₁B₁C₁ — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки A, B и C отображаются в точки A₁, B₁, C₁.
Решение
Дано: треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Доказать: движений, переводящих \(A, B, C\) в \(A_1, B_1, C_1\), не больше одного.
-
Предположим противное: два разных движения \(f\) и \(g\) переводят \(A, B, C\) в \(A_1, B_1, C_1\). Раз они различны, найдётся точка \(M\), которую \(g\) переводит в \(M_1\), а \(f\) — в другую точку \(M_2\).
-
Оба движения сохраняют расстояния: \(A_1M_1 = AM\) и \(A_1M_2 = AM\), поэтому \(A_1M_1 = A_1M_2\) — точка \(A_1\) равноудалена от \(M_1\) и \(M_2\). Так же \(B_1\) и \(C_1\) равноудалены от \(M_1\) и \(M_2\).
-
Точки, равноудалённые от концов отрезка \(M_1M_2\), лежат на его серединном перпендикуляре. Значит, \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) лежат на одной прямой — но это вершины треугольника. Противоречие.
Следовательно, такое движение не больше чем одно (если треугольники не равны, его нет совсем).
Ответ
Доказательство от противного — три вершины треугольника не могут лежать на серединном перпендикуляре к одному отрезку.
Подробнее — в теме «Понятие движения».