Задача 1
В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁. Докажите, что существует движение, переводящее A, B, C в A₁, B₁, C₁, и притом только одно (в учебнике дано решение).
Решение
Дано: \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\), \(BC = B_1C_1\). Доказать: существует ровно одно движение, при котором \(A \to A_1\), \(B \to B_1\), \(C \to C_1\).
-
Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны по трём сторонам. По определению равных фигур существует наложение, переводящее \(A\), \(B\), \(C\) в \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\).
-
Любое наложение является движением (п. 124), значит, нужное движение существует.
-
По задаче 1248 движений, переводящих \(A, B, C\) в \(A_1, B_1, C_1\), не больше одного. Значит, оно единственно.
Ответ
Равные треугольники совмещаются наложением, наложение — движение, а единственность следует из задачи 1248.
Подробнее — в теме «Понятие движения».