Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., § 124, упражнение 1250

Условие (кратко)

Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого.

Решение

Дано: параллелограммы $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ , $$AB = A_1B_1$$ , $$AD = A_1D_1$$ , $\angle A = \angle A_1$ . Доказать: $$ABCD = A_1B_1C_1D_1$$ .

Треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $$BD = B_1D_1$$ .
В треугольниках $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$ соответствующие стороны равны, поэтому по задаче 1249 существует движение $$g$$ , переводящее $$A$$ , $$B$$ , $$D$$ в $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$D_1$$ .
При движении параллелограмм переходит в параллелограмм (задача 1245): $$ABCD$$ переходит в параллелограмм $$A_1B_1C'D_1$$ , где $$C'$$ — образ $$C$$ . Но параллелограмм с вершинами $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$D_1$$ (в этом порядке обхода) единственный: четвёртая вершина — точка пересечения прямой через $$B_1$$ , параллельной $$A_1D_1$$ , и прямой через $$D_1$$ , параллельной $$A_1B_1$$ . Значит, $$C' = C_1$$ .
Движение $$g$$ переводит $$ABCD$$ в $$A_1B_1C_1D_1$$ , а при движении фигура переходит в равную (следствие п. 124). Значит, параллелограммы равны.

Ответ

Утверждение доказано — параллелограммы равны

Почему так

Есть движение, совмещающее три вершины, оно переводит параллелограмм в параллелограмм с теми же тремя вершинами, а движение есть наложение.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Упражнение 1250 к § 124

Задача 1

Похожие задачи для тренировки