Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 124

Упражнение 1257 к § 124

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что если фигура P равна фигуре Q, то фигура Q равна фигуре P.

Решение

Дано: $$P = Q$$ . Доказать: $$Q = P$$ .

Раз $$P = Q$$ , существует наложение $$f$$ , то есть движение, переводящее $$P$$ в $$Q$$ .
Рассмотрим обратное отображение $$f'$$ : каждую точку $$M_1$$ оно переводит в ту точку $$M$$ , образ которой при $$f$$ — $$M_1$$ . Так как $$f$$ — взаимно однозначное отображение плоскости на себя, такая точка $$M$$ одна, и $$f'$$ — тоже преобразование плоскости.
$$f'$$ сохраняет расстояния: если $$f$$ переводит $$M$$ , $$N$$ в $$M_1$$ , $$N_1$$ , то $$MN = M_1N_1$$ , а $$f'$$ переводит $$M_1$$ , $$N_1$$ обратно в $$M$$ , $$N$$ . Значит, $$f'$$ — движение, и оно переводит $$Q$$ в $$P$$ .
Любое движение — наложение (п. 124), поэтому $$Q = P$$ .

Ответ

Утверждение доказано — если P = Q, то Q = P

Почему так

Отображение, обратное движению, тоже сохраняет расстояния и потому является движением, то есть наложением.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Условие (кратко)

Докажите, что если фигура P равна фигуре Q, а фигура Q равна фигуре R, то фигура P равна фигуре R.

Решение

Дано: $$P = Q$$ , $$Q = R$$ . Доказать: $$P = R$$ .

Существует движение $$f$$ , переводящее $$P$$ в $$Q$$ , и движение $$g$$ , переводящее $$Q$$ в $$R$$ (наложения — это движения).
Последовательное выполнение $$f$$ и $$g$$ — движение (задача 1255), и оно переводит $$P$$ в $$R$$ .
Любое движение — наложение (п. 124), поэтому $$P = R$$ .

Ответ

Утверждение доказано — если P = Q и Q = R, то P = R

Почему так

Два движения подряд дают движение, а движение является наложением.

Подробнее — в теме «Понятие движения».