Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 125

Упражнение 1259 к § 125

§ 125. Параллельный перенос · тема: Параллельный перенос

Задача 1

Условие (кратко)

Начертите треугольник ABC и вектор MM₁, не параллельный ни одной из его сторон. Постройте треугольник A₁B₁C₁ — образ ABC при параллельном переносе на вектор MM₁.

Решение

Через вершины $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ проведите прямые, параллельные $$MM_1$$ .
На каждой отложите от вершины в направлении вектора $\overrightarrow{MM_1}$ отрезок, равный $$MM_1$$ : получатся точки $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ , причём $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{MM_1}$ .
Соедините $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ .

Почему получилось: перенос — движение, он отображает каждую сторону треугольника на отрезок с концами в образах вершин, поэтому образ треугольника $$ABC$$ — треугольник $$A_1B_1C_1$$ . Так как вектор не параллелен сторонам, все три четырёхугольника $$ABB_1A_1$$ , $$BCC_1B_1$$ , $$ACC_1A_1$$ — настоящие параллелограммы: $$A_1B_1 = AB$$ , $$B_1C_1 = BC$$ , $$A_1C_1 = AC$$ , и каждая сторона нового треугольника параллельна соответствующей стороне старого.

Ответ

Треугольник A₁B₁C₁ с вершинами, сдвинутыми на вектор MM₁; он равен ABC, стороны соответственно параллельны

Почему так

Чтобы перенести многоугольник, достаточно перенести его вершины на данный вектор.

Подробнее — в теме «Параллельный перенос».

Задача 2

Условие (кратко)

Тот же треугольник ABC перенесите на вектор a, параллельный стороне AC: постройте треугольник A₁B₁C₁.

Решение

Вершины $$A$$ и $$C$$ лежат на прямой $$AC$$ , параллельной вектору $\vec{a}$ . Поэтому $$A_1$$ и $$C_1$$ строятся на самой прямой $$AC$$ : отложите от $$A$$ и от $$C$$ в направлении $\vec{a}$ отрезки, равные $|\vec{a}|$ .
Через $$B$$ проведите прямую, параллельную $$AC$$ , и отложите на ней $BB_1 = |\vec{a}|$ в направлении $\vec{a}$ .
Соедините $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ .

Что получилось: сторона $$A_1C_1$$ лежит на той же прямой $$AC$$ — треугольник «съехал» вдоль своей стороны на длину вектора. Вершина $$B_1$$ лежит на прямой, параллельной $$AC$$ , на том же расстоянии от неё, что и $$B$$ . Треугольник $$A_1B_1C_1$$ равен $$ABC$$ , так как перенос — движение.

Ответ

Треугольник A₁B₁C₁, сдвинутый вдоль прямой AC; сторона A₁C₁ лежит на прямой AC

Почему так

Прямая, параллельная вектору переноса, отображается на себя, поэтому сторона AC скользит по своей прямой.

Подробнее — в теме «Параллельный перенос».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки