Сколько неподвижных точек у параллельного переноса на ненулевой вектор?

Одна — начало вектора

Бесконечно много

Какие утверждения о параллельном переносе верны?

Он сохраняет расстояния между точками

Прямую он отображает на параллельную ей прямую или на неё саму

Он является движением

Окружность он отображает на окружность большего радиуса

При переносе точки A и B перешли в A_1 и B_1, причём прямая AB не параллельна вектору переноса. Каким будет четырёхугольник ABB_1A_1?

Произвольный четырёхугольник

Параллельный перенос — 9 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Понятие движения

Коротко о главном

Параллельный перенос на вектор $\vec{a}$ сдвигает каждую точку плоскости на этот вектор: точка $$M$$ переходит в такую точку $$M_1$$ , что $\overrightarrow{MM_1} = \vec{a}$ . Перенос — движение: расстояния не меняются.

\overrightarrow{MM_1} = \vec{a}, \quad M(x; y) \to M_1(x + p;\ y + q) \text{ при } \vec{a}\{p; q\}

Подробное объяснение

Представьте, что на столе лежит прозрачная плёнка с рисунком, и её сдвигают, не поворачивая. Каждая точка рисунка смещается в одну и ту же сторону на одно и то же расстояние. Это и есть параллельный перенос.

Определение

Пусть дан вектор $\vec{a}$ . Параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $$M$$ переходит в такую точку $$M_1$$ , что $\overrightarrow{MM_1} = \vec{a}$ .

Вектор a и треугольник ABC. Пунктирные стрелки AA₁, BB₁, CC₁ равны вектору a и ведут к треугольнику A₁B₁C₁ — такому же, сдвинутому на вектор a. — При переносе на вектор a все точки сдвигаются на одно и то же расстояние в одном направлении; треугольник переходит в равный.

Почему перенос — движение

Возьмём две точки $$M$$ и $$N$$ , их образы $$M_1$$ и $$N_1$$ . По определению $\overrightarrow{MM_1} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{NN_1} = \vec{a}$ , значит, $\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{NN_1}$ . Отрезки $$MM_1$$ и $$NN_1$$ параллельны и равны, поэтому $$MM_1N_1N$$ — параллелограмм, и его противоположные стороны равны: $$M_1N_1 = MN$$ . Расстояние сохранилось, значит, перенос — движение. (Если $$M$$ и $$N$$ лежат на прямой, параллельной $\vec{a}$ , обе точки просто сдвигаются по этой прямой на одну и ту же длину, и расстояние тоже не меняется.)

Отсюда все свойства движений: отрезок переходит в равный отрезок, треугольник — в равный треугольник, окружность — в окружность того же радиуса. Кроме того, у переноса есть свои особенности:

отрезок переходит в параллельный ему отрезок (или в отрезок на той же прямой);
прямая, параллельная вектору, переходит сама в себя, остальные прямые — в параллельные им;
у переноса на ненулевой вектор нет неподвижных точек.

Тождественное преобразование

Если $\vec{a} = \vec{0}$ , каждая точка остаётся на месте. Такое преобразование, при котором все точки неподвижны, называется тождественным.

Перенос в координатах

Если $\vec{a}\{p; q\}$ и $$M(x; y)$$ , то координаты вектора $\overrightarrow{MM_1}$ равны разностям координат конца и начала: $\{x_1 - x;\ y_1 - y\} = \{p; q\}$ . Отсюда $$x_1 = x + p$$ , $$y_1 = y + q$$ . Например, при переносе на $\{2; -1\}$ точка $$(3; 3)$$ переходит в $$(5; 2)$$ .

Как решать задачи

Чтобы построить образ точки, проведите через неё прямую, параллельную вектору, и отложите в направлении вектора отрезок, равный его длине.
Многоугольник переносите по вершинам, окружность — по центру, радиус оставьте прежним.
Чтобы найти вектор переноса, найдите одну пару «точка — образ»: вектор равен $\overrightarrow{MM_1}$ .
В координатах прибавляйте к координатам точки координаты вектора.
В задачах на трапеции и четырёхугольники перенос стороны или диагонали «собирает» данные отрезки в один треугольник.

Разобранные примеры

База

Образ треугольника в координатах

Условие

Треугольник с вершинами $$A(0; 0)$$ , $$B(4; 1)$$ , $$C(1; 3)$$ перенесли так, что вершина $$A$$ попала в точку $$A_1(-2; 5)$$ . Найдите координаты $$B_1$$ и $$C_1$$ .

Дано

$A(0; 0) \to A_1(-2; 5)$
$$B(4; 1)$$
$$C(1; 3)$$

Найти

$$B_1$$
$$C_1$$

Решение

Вектор переноса $\overrightarrow{AA_1}\{-2 - 0;\ 5 - 0\} = \{-2; 5\}$ .

$B_1(4 - 2;\ 1 + 5) = (2; 6)$ , $C_1(1 - 2;\ 3 + 5) = (-1; 8)$ .

Ответ: B₁(2; 6), C₁(−1; 8)

Средний

Вектор, переводящий одну окружность в другую

Условие

Окружность с центром $$O(2; -1)$$ радиуса 4 переходит при параллельном переносе в окружность с центром $$O_1(-1; 3)$$ . Найдите вектор переноса, его длину и радиус новой окружности.

Дано

$$O(2; -1)$$
$$O_1(-1; 3)$$
$$r = 4$$

Найти

$\overrightarrow{OO_1}$
$|\overrightarrow{OO_1}|$
$$r_1$$

Решение

Центр переходит в центр, поэтому вектор переноса $\overrightarrow{OO_1}\{-1 - 2;\ 3 - (-1)\} = \{-3; 4\}$ .

Длина: $\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Перенос — движение, радиус не меняется: $$r_1 = 4$$ .

Ответ: Вектор {−3; 4}, длина 5, радиус 4

Сложный

Площадь трапеции через перенос диагонали

Условие

Основания трапеции $$ABCD$$ равны $$BC = 4$$ см и $$AD = 9$$ см, диагонали $$AC = 5$$ см и $$BD = 12$$ см. Найдите площадь трапеции.

Дано

$$ABCD$$ — трапеция
$BC \parallel AD$
$$BC = 4$$ см
$$AD = 9$$ см
$$AC = 5$$ см
$$BD = 12$$ см

Найти

$S_{ABCD}$

Решение

Перенесём диагональ $$BD$$ на вектор $\overrightarrow{BC}$ : точка $$B$$ перейдёт в $$C$$ , точка $$D$$ — в такую точку $$D_1$$ , что $\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{BC}$ . Точка $$D_1$$ лежит на продолжении $$AD$$ за точку $$D$$ , и $$DD_1 = 4$$ см. Перенос сохраняет длины: $$CD_1 = BD = 12$$ см.

В треугольнике $$ACD_1$$ : $$AC = 5$$ , $$CD_1 = 12$$ , $$AD_1 = 9 + 4 = 13$$ . Так как $$5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$$ , треугольник прямоугольный с прямым углом $$C$$ . Его площадь $\dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см².

Площадь трапеции равна площади этого треугольника: треугольники $$ABC$$ и $$CDD_1$$ имеют равные основания $$BC = DD_1$$ и одинаковую высоту (высоту трапеции), поэтому $S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC} = S_{ACD} + S_{CDD_1} = S_{ACD_1}$ .

Ответ: 30 см²

Типичные ошибки

Откладывают вектор в обратную сторону

Почему неверно

Строят точку $$M_1$$ так, что $\overrightarrow{M_1M} = \vec{a}$ , то есть сдвигают точку против стрелки вектора. Получается перенос на вектор $-\vec{a}$ , а в координатах — вычитание вместо сложения.

Как правильно

Стрелка вектора показывает, куда едет точка: от $$M$$ к $$M_1$$ . В координатах $$x_1 = x + p$$ , $$y_1 = y + q$$ . Проверка: $\overrightarrow{MM_1}$ должен совпасть с $\vec{a}$ .

Считают, что прямая всегда «уезжает» в другую прямую

Почему неверно

Если прямая параллельна вектору переноса, каждая её точка сдвигается вдоль самой прямой. Прямая переходит в себя, хотя ни одна её точка не остаётся на месте.

Как правильно

Сначала сравните направление прямой с вектором. Параллельна — образ совпадает с прямой; не параллельна — образ параллелен ей и проходит через образ любой её точки.

Ищут неподвижную точку переноса

Почему неверно

Иногда считают, что начало вектора $\vec{a}$ «стоит на месте», как центр при повороте. Но начало вектора — тоже точка плоскости, и она сдвигается на $\vec{a}$ , как все остальные.

Как правильно

У переноса на ненулевой вектор неподвижных точек нет вовсе. Неподвижны все точки только у тождественного преобразования (перенос на нулевой вектор).

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

При параллельном переносе на вектор $\vec{a}\{3; -2\}$ точка $$A(1; 4)$$ переходит в точку $$A_1$$ . Найдите координаты $$A_1$$ .

Подсказка

Координаты вектора $\overrightarrow{AA_1}$ — это разности координат конца и начала, и он равен $\vec{a}$ .

Решение

$\overrightarrow{AA_1} = \vec{a}$ , поэтому $$x_1 = 1 + 3 = 4$$ , $$y_1 = 4 + (-2) = 2$$ .

Ответ

A₁(4; 2)

База Задача 2

При параллельном переносе точка $$B(2; 5)$$ перешла в точку $$B_1(-1; 7)$$ . На какой вектор сделан перенос? Найдите его длину.

Подсказка

Вектор переноса равен $\overrightarrow{BB_1}$ .

Решение

$\overrightarrow{BB_1}\{-1 - 2;\ 7 - 5\} = \{-3; 2\}$ .

Длина: $\sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{13}$ .

Ответ

{−3; 2}, длина √13

Средний Задача 3

Прямую $$y = 2x + 1$$ перенесли на вектор $\vec{a}\{1; 3\}$ . Напишите уравнение получившейся прямой.

Подсказка

Прямая переходит в параллельную ей прямую, значит, угловой коэффициент 2 сохранится. Перенесите одну точку прямой.

Решение

Точка $$(0; 1)$$ лежит на прямой и переходит в точку $$(1; 4)$$ .

Образ — прямая, параллельная данной, то есть $$y = 2x + b$$ . Подставим $$(1; 4)$$ : $$4 = 2 + b$$ , $$b = 2$$ .

Ответ

y = 2x + 2

Средний Задача 4

Окружность $$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$$ перенесли на вектор $\{-4; 5\}$ . Найдите центр и радиус новой окружности.

Подсказка

Перенос — движение: центр переносится, радиус не меняется.

Решение

Центр $$(1; -2)$$ переходит в $(1 - 4;\ -2 + 5) = (-3; 3)$ . Радиус остаётся $\sqrt{9} = 3$ .

Новая окружность: $$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 9$$ .

Ответ

Центр (−3; 3), радиус 3

Сложный Задача 5

Квадрат $$ABCD$$ со стороной 6 см перенесли на вектор $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ . Найдите площадь общей части квадрата и его образа.

Подсказка

Квадрат сдвинулся вдоль стороны $$AB$$ на 2 см. Общая часть — прямоугольник.

Решение

Длина вектора переноса $\dfrac{1}{3} \cdot 6 = 2$ см, направление — вдоль $$AB$$ . Каждая точка сдвигается на 2 см вдоль стороны.

Общая часть — прямоугольник со сторонами $$6 - 2 = 4$$ см (вдоль $$AB$$ ) и 6 см (вдоль $$AD$$ ). Площадь $4 \cdot 6 = 24$ см².

Ответ

24 см²

Сложный Задача 6

Докажите, что при параллельном переносе на ненулевой вектор $\vec{a}$ прямая, параллельная $\vec{a}$ , отображается на себя, а прямая, не параллельная $\vec{a}$ , — на параллельную ей другую прямую.

Подсказка

Перенесите две точки прямой и посмотрите на четырёхугольник, который они образуют вместе с образами.

Решение

Пусть $$M$$ , $$N$$ — точки прямой $$l$$ , $$M_1$$ , $$N_1$$ — их образы. Образ прямой — прямая $$M_1N_1$$ (перенос — движение).

Если $l \parallel \vec{a}$ , то $\overrightarrow{MM_1} = \vec{a}$ лежит на прямой $$l$$ , поэтому $M_1 \in l$ , так же $N_1 \in l$ , и прямая $$M_1N_1$$ совпадает с $$l$$ .

Если $l \nparallel \vec{a}$ , то $\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{NN_1}$ , и $$MM_1N_1N$$ — параллелограмм. Значит, $M_1N_1 \parallel MN$ , а $M_1 \notin l$ (иначе $$MM_1$$ лежал бы на $$l$$ и $l \parallel \vec{a}$ ). Образ — другая прямая, параллельная $$l$$ .

Ответ

Доказано

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на лист бумаги монету или вырезанный треугольник, обведите его, затем сдвиньте, не поворачивая, вдоль линейки на 5 см и обведите снова. Соедините стрелками соответствующие вершины: все стрелки одинаковой длины и направлены в одну сторону — это и есть вектор переноса. Фигура не изменилась, поменялось только её место.

Вопросы для проверки понимания: 1) Куда перейдёт точка $$(1; 1)$$ при переносе на вектор $\{3; 0\}$ ? 2) Есть ли у переноса на ненулевой вектор неподвижные точки? 3) Почему при переносе окружности её радиус не меняется?

На что обратить внимание. Ребёнок должен откладывать вектор от каждой точки именно в его направлении и уметь объяснить, почему $$MM_1N_1N$$ — параллелограмм: на этом держится и доказательство, и большинство задач.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 125	1258, 1259, 1260, 1261, 1262