Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 125

Упражнение 1260 к § 125

§ 125. Параллельный перенос · тема: Параллельный перенос

Задача 1

Условие (кратко)

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, точка D на прямой AC, причём C лежит на отрезке AD. Постройте отрезок B₁D — образ отрезка BC при переносе на вектор CD.

Решение

При переносе на вектор $\overrightarrow{CD}$ точка $$C$$ переходит в точку $$D$$ (ведь $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CD}$ ). Осталось построить образ точки $$B$$ .

Через $$B$$ проведите прямую, параллельную $$AC$$ .
Отложите на ней от $$B$$ в направлении от $$A$$ к $$D$$ отрезок $$BB_1 = CD$$ . Тогда $\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CD}$ .
Соедините $$B_1$$ и $$D$$ .

Отрезок $$B_1D$$ — образ отрезка $$BC$$ : концы $$B$$ и $$C$$ перешли в $$B_1$$ и $$D$$ .

Ответ

Отрезок B₁D, где BB₁ ∥ AD, BB₁ = CD и направлен так же, как CD

Почему так

Перенос на вектор CD переводит точку C в D, а точку B — в B₁ с вектором BB₁, равным CD.

Подробнее — в теме «Параллельный перенос».

Задача 2

Условие (кратко)

В тех же условиях докажите, что четырёхугольник ABB₁D — равнобедренная трапеция.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB = BC$$ , точка $$C$$ лежит на отрезке $$AD$$ , $\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CD}$ . Доказать: $$ABB_1D$$ — равнобедренная трапеция.

$\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CD}$ , а прямая $$CD$$ — это прямая $$AD$$ . Значит, $BB_1 \parallel AD$ .
$$BB_1 = CD < AD$$ (точка $$C$$ лежит на отрезке $$AD$$ и не совпадает с $$A$$ ). Поэтому $BB_1 \ne AD$ , и $$ABB_1D$$ не параллелограмм.
Перенос отображает отрезок $$BC$$ на $$B_1D$$ , поэтому $B_1D \parallel BC$ и $$B_1D = BC$$ . Прямая $$BC$$ пересекает $$AB$$ в точке $$B$$ , значит, $$B_1D$$ не параллелен $$AB$$ .
Итак, в четырёхугольнике $$ABB_1D$$ одна пара сторон параллельна ( $BB_1 \parallel AD$ ), а другая — нет: это трапеция с основаниями $$BB_1$$ и $$AD$$ .
Боковые стороны: $$B_1D = BC = AB$$ . Трапеция равнобедренная.

Ответ

Доказано: BB₁ ∥ AD, BB₁ ≠ AD, а боковые стороны AB и B₁D равны (B₁D = BC = AB)

Почему так

Перенос сохраняет длину отрезка и переводит его в параллельный, поэтому B₁D ∥ BC и B₁D = BC.

Подробнее — в теме «Параллельный перенос».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки