Задача 1
Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигуры, которые получаются из них параллельным переносом на данный вектор a.
Решение
Во всех трёх случаях каждую нужную точку \(P\) переносим так: через \(P\) проводим прямую, параллельную \(\vec{a}\), и откладываем в направлении \(\vec{a}\) отрезок \(PP_1 = |\vec{a}|\).
-
Треугольник \(ABC\): переносим три вершины, получаем \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и соединяем их. Образ — треугольник \(A_1B_1C_1\), равный \(ABC\).
-
Трапеция \(ABCD\): переносим четыре вершины и соединяем по порядку. Образ — трапеция \(A_1B_1C_1D_1\): стороны сохраняют длины и направления, поэтому \(A_1D_1 \parallel B_1C_1\), и она равна исходной.
-
Окружность с центром \(O\) радиуса \(r\): переносим центр, получаем \(O_1\), и проводим окружность с центром \(O_1\) того же радиуса \(r\). Действительно, если \(OP = r\), то \(O_1P_1 = OP = r\) (перенос сохраняет расстояния), так что все образы точек окружности лежат на новой окружности. И наоборот, любая точка \(Q\) новой окружности — образ точки \(P\), для которой \(\overrightarrow{PQ} = \vec{a}\), а \(OP = O_1Q = r\).
Ответ
Перенос — движение, поэтому многоугольник достаточно перенести по вершинам, а окружность переходит в окружность того же радиуса.
Подробнее — в теме «Параллельный перенос».