Задача 1
Даны две пары параллельных прямых a ∥ a₁, b ∥ b₁, причём a и b не параллельны. Постройте вектор параллельного переноса, при котором a и b отображаются на a₁ и b₁.
Решение
Построение. 1) Отметьте точку \(O\) пересечения прямых \(a\) и \(b\) (они не параллельны).
-
Прямые \(a_1\) и \(b_1\) тоже пересекаются (иначе \(a \parallel a_1 \parallel b_1 \parallel b\)). Отметьте их точку пересечения \(O_1\).
-
Искомый вектор — \(\overrightarrow{OO_1}\).
Доказательство. При переносе на \(\overrightarrow{OO_1}\) возьмём любую точку \(M\) прямой \(a\), \(M \ne O\), и её образ \(M_1\). Так как \(\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{OO_1}\), то \(\overrightarrow{O_1M_1} = \overrightarrow{OM}\), значит, \(M_1\) лежит на прямой, проходящей через \(O_1\) параллельно \(a\). Через \(O_1\) проходит только одна прямая, параллельная \(a\), — это \(a_1\). Значит, все точки \(a\) переходят на \(a_1\); и обратно, каждая точка \(Q\) прямой \(a_1\) — образ такой точки \(P\), что \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OO_1}\), а она лежит на \(a\) по тем же соображениям. Так же прямая \(b\) отображается на \(b_1\).
Другого вектора нет: точка \(O\) лежит на \(a\) и на \(b\), поэтому её образ обязан лежать и на \(a_1\), и на \(b_1\), то есть совпасть с \(O_1\).
Ответ
Точка пересечения прямых a и b должна перейти в точку пересечения их образов a₁ и b₁.
Подробнее — в теме «Параллельный перенос».