Постройте отрезок A₁B₁, который получается из данного отрезка AB поворотом вокруг данного центра O на 120° по часовой стрелке.
Решение
Проведите луч \(OA\). От него по часовой стрелке отложите транспортиром угол \(120^\circ\) (циркулем и линейкой: \(120^\circ\) — это два угла равностороннего треугольника по \(60^\circ\)).
На полученном луче отложите \(OA_1 = OA\) (циркулем с центром \(O\)).
Так же постройте \(B_1\): \(\angle BOB_1 = 120^\circ\) по часовой стрелке, \(OB_1 = OB\).
Соедините \(A_1\) и \(B_1\).
Почему получилось: по определению поворота \(A \to A_1\), \(B \to B_1\), а поворот — движение, поэтому отрезок \(AB\) отображается на отрезок \(A_1B_1\) и \(A_1B_1 = AB\). Если \(O\) лежит на прямой \(AB\), построение то же.
Ответ
Отрезок A₁B₁, где OA₁ = OA, OB₁ = OB, ∠AOA₁ = ∠BOB₁ = 120° по часовой стрелке
Почему так
Чтобы повернуть отрезок, достаточно повернуть его концы на один и тот же угол в одном направлении.
Тот же отрезок AB поверните вокруг O на 75° против часовой стрелки.
Решение
От луча \(OA\) против часовой стрелки отложите транспортиром угол \(75^\circ\) и на новом луче — отрезок \(OA_1 = OA\). (Циркулем и линейкой: \(75^\circ = 60^\circ + 15^\circ\), где \(15^\circ\) — половина половины угла \(60^\circ\).)
Так же от луча \(OB\) против часовой стрелки отложите \(75^\circ\) и \(OB_1 = OB\).
Соедините \(A_1\) и \(B_1\).
Поворот — движение, поэтому \(A_1B_1 = AB\).
Ответ
Отрезок A₁B₁, где OA₁ = OA, OB₁ = OB, ∠AOA₁ = ∠BOB₁ = 75° против часовой стрелки
Почему так
Каждый конец отрезка поворачивается вокруг O на 75° в одну и ту же сторону с сохранением расстояния до центра.
Проведите прямую \(AO\) и на продолжении луча \(AO\) за точку \(O\) отложите \(OA_1 = OA\).
Так же на продолжении \(BO\) за точку \(O\) отложите \(OB_1 = OB\).
Соедините \(A_1\) и \(B_1\).
При повороте на \(180^\circ\) угол \(AOA_1\) развёрнутый, то есть \(O\) — середина \(AA_1\); направление поворота роли не играет. Это центральная симметрия относительно \(O\), поэтому \(A_1B_1 = AB\) и \(A_1B_1 \parallel AB\) (или лежит на той же прямой, если \(O \in AB\)).
Ответ
Отрезок A₁B₁, симметричный AB относительно точки O; A₁B₁ = AB, A₁B₁ ∥ AB
Почему так
Поворот на 180° — это центральная симметрия относительно центра поворота.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).