Задача 1
D — точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг D на 120° треугольник ABC отображается на себя.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\) равносторонний, \(D\) — точка пересечения его биссектрис. Доказать: поворот вокруг \(D\) на \(120^\circ\) отображает \(\triangle ABC\) на себя.
-
В равностороннем треугольнике биссектрисы являются и серединными перпендикулярами к сторонам, поэтому \(D\) — центр описанной окружности: \(DA = DB = DC\).
-
Треугольники \(ADB\), \(BDC\), \(CDA\) равны по трём сторонам (\(DA = DB = DC\), \(AB = BC = CA\)). Значит, \(\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA\), а в сумме эти углы дают \(360^\circ\). Каждый равен \(120^\circ\).
-
Пусть поворот идёт в ту сторону, в которую обходятся вершины \(A \to B \to C\). Так как \(DA = DB\) и \(\angle ADB = 120^\circ\), точка \(A\) переходит в \(B\); так же \(B \to C\), \(C \to A\). (При повороте в другую сторону \(A \to C\), \(C \to B\), \(B \to A\) — рассуждение то же.)
-
Поворот — движение, он отображает отрезок на отрезок с концами в образах концов: \(AB \to BC\), \(BC \to CA\), \(CA \to AB\). Стороны треугольника переходят в его же стороны, значит, \(\triangle ABC\) отображается на себя.
Ответ
Центр равностороннего треугольника равноудалён от вершин и видит каждую сторону под углом 120°.
Подробнее — в теме «Поворот».