Задача 1
Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на 90° квадрат отображается на себя.
Решение
Дано: \(ABCD\) — квадрат, \(O\) — точка пересечения диагоналей. Доказать: поворот вокруг \(O\) на \(90^\circ\) отображает квадрат на себя.
-
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OA = OB = OC = OD\).
-
Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому \(\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ\).
-
При повороте на \(90^\circ\) в направлении обхода \(A \to B \to C \to D\) точка \(A\) переходит в \(B\) (\(OA = OB\), \(\angle AOB = 90^\circ\)), \(B \to C\), \(C \to D\), \(D \to A\). При повороте в другую сторону — \(A \to D\), \(D \to C\), \(C \to B\), \(B \to A\).
-
Поворот — движение, поэтому каждая сторона переходит в отрезок между образами её концов, то есть в соседнюю сторону квадрата. Квадрат отображается на себя.
Ответ
Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Подробнее — в теме «Поворот».