Постройте окружность, которая получается из данной окружности с центром C поворотом вокруг точки O на 60° против часовой стрелки, если точки O и C не совпадают.
Решение
Постройте образ центра \(C\): проведите окружности с центрами \(O\) и \(C\) радиуса \(OC\). Они пересекаются в двух точках; возьмите ту, \(C_1\), которая получается из \(C\) поворотом против часовой стрелки. Треугольник \(OCC_1\) равносторонний, поэтому \(OC_1 = OC\) и \(\angle COC_1 = 60^\circ\).
Проведите окружность с центром \(C_1\) того же радиуса \(r\), что и данная.
Почему получилось: поворот — движение. Если точка \(P\) лежит на данной окружности, то \(CP = r\), а для её образа \(C_1P_1 = CP = r\), то есть \(P_1\) лежит на новой окружности. И обратно, любая точка новой окружности — образ некоторой точки данной (поверните её на \(60^\circ\) по часовой стрелке). Значит, окружность отображается на окружность с центром \(C_1\) и тем же радиусом.
Ответ
Окружность того же радиуса с центром C₁, где OC₁ = OC, ∠COC₁ = 60° против часовой стрелки (△OCC₁ равносторонний)
Почему так
Движение отображает окружность на окружность того же радиуса, поэтому достаточно повернуть центр.
Центр поворота \(O\) совпадает с центром окружности \(C\) и остаётся на месте. Каждая точка \(P\) окружности переходит в точку \(P_1\) с \(OP_1 = OP = r\), то есть снова на эту же окружность. И каждая точка окружности — образ какой-то её точки.
Значит, окружность отображается на себя: строить ничего не нужно, искомая окружность — данная.
Ответ
Окружность отображается на себя
Почему так
При повороте вокруг центра окружности расстояние до центра не меняется, поэтому окружность переходит сама в себя.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).