Постройте прямую a₁ — образ прямой a при повороте вокруг точки O на 60° по часовой стрелке, если прямая a не проходит через O. (В учебнике дан план решения.)
Решение
Опустите из \(O\) перпендикуляр \(OM\) на прямую \(a\) (\(M \in a\)). Окружность с центром \(O\) радиуса \(OM\) касается прямой \(a\) в точке \(M\), так как \(a \perp OM\).
Постройте образ точки \(M\): на окружности с центром \(O\) радиуса \(OM\) сделайте засечку из \(M\) тем же радиусом по часовой стрелке. Получится \(M_1\): \(\triangle OMM_1\) равносторонний, \(\angle MOM_1 = 60^\circ\).
Через \(M_1\) проведите прямую \(a_1 \perp OM_1\) — касательную к окружности в точке \(M_1\).
Почему получилось: окружность с центром в центре поворота отображается на себя. Касательная \(a\) имеет с окружностью одну общую точку \(M\), поэтому её образ — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку \(M_1\) (движение переводит разные точки в разные), то есть касательная в точке \(M_1\). Касательная в данной точке единственна — это \(a_1\).
Ответ
Касательная a₁ в точке M₁ к окружности с центром O радиуса OM, где OM ⊥ a, ∠MOM₁ = 60° по часовой стрелке
Почему так
Поворот отображает окружность с центром O на себя, а касательную к ней — на касательную.
Та же задача, если прямая a проходит через точку O.
Решение
Отметьте на прямой \(a\) любую точку \(P \ne O\).
Постройте её образ \(P_1\): засечкой из \(P\) радиусом \(OP\) на окружности с центром \(O\) радиуса \(OP\), по часовой стрелке (\(\triangle OPP_1\) равносторонний, \(\angle POP_1 = 60^\circ\)).
Проведите прямую \(a_1 = OP_1\).
Почему получилось: точка \(O\) неподвижна, \(P\) переходит в \(P_1\), а движение отображает прямую на прямую. Прямая, проходящая через \(O\) и \(P\), переходит в прямую через \(O\) и \(P_1\). Угол между \(a\) и \(a_1\) равен \(60^\circ\).
Ответ
Прямая OP₁, где P — точка прямой a, ∠POP₁ = 60° по часовой стрелке; угол между a и a₁ равен 60°
Почему так
Прямая через центр поворота переходит в прямую через центр, повернутую на тот же угол.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).