Задача 1
Докажите, что если при повороте вокруг точки O на некоторый угол прямая a переходит в прямую a₁, то угол между a и a₁ либо равен углу поворота, либо дополняет его до 180°.
Решение
Дано: поворот вокруг \(O\) на угол \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha \le 180^\circ\)) отображает прямую \(a\) на \(a_1\). Доказать: угол между \(a\) и \(a_1\) равен \(\alpha\) или \(180^\circ - \alpha\).
Случай 1: \(O \in a\). Тогда \(O \in a_1\). Возьмём \(M \in a\), \(M \ne O\), её образ \(M_1 \in a_1\). По определению поворота \(\angle MOM_1 = \alpha\). Прямые \(a\) и \(a_1\) пересекаются в \(O\) и образуют углы \(\alpha\) и \(180^\circ - \alpha\); угол между прямыми — один из них.
Случай 2: \(O \notin a\). Опустим перпендикуляр \(OH\) на \(a\) (так советует и учебник). Пусть \(H \to H_1\). Возьмём на \(a\) точку \(P \ne H\), \(P \to P_1\). Треугольники \(OHP\) и \(OH_1P_1\) равны по трём сторонам (поворот сохраняет расстояния), поэтому \(\angle OH_1P_1 = \angle OHP = 90^\circ\), то есть \(a_1 \perp OH_1\). При этом \(\angle HOH_1 = \alpha\).
Если \(\alpha = 180^\circ\), то \(OH\) и \(OH_1\) лежат на одной прямой, \(a \parallel a_1\) (обе перпендикулярны этой прямой), и угол между ними \(0^\circ = 180^\circ - \alpha\).
Если \(\alpha < 180^\circ\), прямые \(OH\) и \(OH_1\) не параллельны, поэтому перпендикулярные к ним \(a\) и \(a_1\) пересекаются в некоторой точке \(K\). Углы \(OHK\) и \(OH_1K\) прямые, значит, \(H\) и \(H_1\) лежат на окружности с диаметром \(OK\). Вписанные углы \(HOH_1\) и \(HKH_1\) опираются на хорду \(HH_1\): если \(O\) и \(K\) по одну сторону от \(HH_1\), они равны, если по разные — в сумме дают \(180^\circ\). Значит, \(\angle HKH_1 = \alpha\) или \(180^\circ - \alpha\), а угол между прямыми \(a\) и \(a_1\) — это \(\angle HKH_1\) или смежный с ним, то есть снова \(\alpha\) или \(180^\circ - \alpha\).
Ответ
Перпендикуляр из центра поворота к прямой поворачивается вместе с ней на угол α, а углы с перпендикулярными сторонами равны или дополняют друг друга до 180°.
Подробнее — в теме «Поворот».