Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 126

Упражнение 1270 к § 126

Задача 1

Условие (кратко)

(Задание для решения с компьютером.) Даны два равных параллельных отрезка. Постройте центр O поворота, при котором один отрезок отображается на другой.

Решение

Пусть $$AB = A_1B_1$$ и $AB \parallel A_1B_1$ (или отрезки лежат на одной прямой), и они не совпадают.

Обозначим концы так, чтобы векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{A_1B_1}$ были противоположно направлены (если сонаправлены, поменяйте местами буквы $$A_1$$ и $$B_1$$ ). Тогда $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B_1A_1}$ .
Проведите отрезки $$AA_1$$ и $$BB_1$$ . Их общая середина — искомый центр $$O$$ .

Почему: из $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B_1A_1}$ следует, что $$ABA_1B_1$$ — параллелограмм (возможно, вырожденный, если отрезки на одной прямой), а его диагонали $$AA_1$$ и $$BB_1$$ точкой пересечения делятся пополам. Поэтому $$O$$ — середина и $$AA_1$$ , и $$BB_1$$ : при центральной симметрии относительно $$O$$ , то есть при повороте на $180^\circ$ , $A \to A_1$ , $B \to B_1$ , и отрезок $$AB$$ отображается на $$A_1B_1$$ .

Другого угла здесь нет: поворот на угол $\alpha$ поворачивает направление любого отрезка на $\alpha$ , а параллельные отрезки получаются только при $\alpha = 180^\circ$ .

Ответ

O — общая середина отрезков AA₁ и BB₁, где концы взяты так, что векторы AB и A₁B₁ противоположны; это поворот на 180°

Почему так

Поворот, переводящий отрезок в параллельный ему, — это поворот на 180°, то есть центральная симметрия.

Подробнее — в теме «Поворот».

Задача 2

Условие (кратко)

(Задание для решения с компьютером.) Даны два равных непараллельных отрезка AB и A₁B₁. Постройте центр O поворота, при котором один отрезок отображается на другой.

Решение

Будем искать поворот, при котором $A \to A_1$ , $B \to B_1$ .

Постройте серединный перпендикуляр к отрезку $$AA_1$$ и серединный перпендикуляр к отрезку $$BB_1$$ .
Если они пересекаются в одной точке, это и есть центр $$O$$ .
Если они совпадают (отрезки симметричны относительно этой прямой), центр $$O$$ — точка пересечения прямых $$AB$$ и $$A_1B_1$$ .

(Если у отрезков общий конец, $$A = A_1$$ , центр — сама эта точка: $$AB = AB_1$$ .)

Почему (случай 2): $$O$$ лежит на серединных перпендикулярах, поэтому $$OA = OA_1$$ , $$OB = OB_1$$ , и $\triangle OAB = \triangle OA_1B_1$ по трём сторонам. Эти треугольники обходятся в одну сторону (иначе они были бы симметричны относительно прямой через $$O$$ , и серединные перпендикуляры совпали бы). Значит, $\angle AOA_1 = \angle BOB_1$ и поворот вокруг $$O$$ на этот угол переводит $A \to A_1$ , $B \to B_1$ , а отрезок $$AB$$ — в $$A_1B_1$$ .

Случай 3: точка $O = AB \cap A_1B_1$ лежит на оси симметрии, поэтому $$OA = OA_1$$ , $$OB = OB_1$$ , а лучи $$OA$$ и $$OB$$ поворачиваются на один и тот же угол.

Если сопоставить концы иначе ( $A \to B_1$ , $B \to A_1$ ), так же получится второй центр поворота — задача имеет два решения.

Ответ

O — точка пересечения серединных перпендикуляров к AA₁ и BB₁ (при другом соответствии концов — второй центр)

Почему так

Центр поворота равноудалён от каждой точки и её образа, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему их.

Подробнее — в теме «Поворот».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки