Упражнение 1271 к § 127

Симметрия фигуры — движение, отличное от тождественного, которое отображает фигуру на себя. Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) общего вида (не ромб и не прямоугольник), \(O\) — точка пересечения диагоналей.

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому при центральной симметрии с центром \(O\) вершины переходят так: \(A \to C\), \(C \to A\), \(B \to D\), \(D \to B\). Стороны переходят в стороны, параллелограмм — сам в себя. Это его симметрия.
2. Других симметрий нет. Любая симметрия переводит вершины в вершины и сохраняет расстояния. Диагонали \(AC \ne BD\) (параллелограмм не прямоугольник), поэтому вершину \(A\) можно отправить только в \(A\) или в \(C\). Если \(A \to A\), то \(C \to C\), а \(B\) не может перейти в \(D\), так как \(AB \ne AD\) (параллелограмм не ромб). Значит, все вершины на месте, и движение тождественное (движение, оставляющее на месте три точки, не лежащие на одной прямой, тождественно). Если \(A \to C\), то это и есть центральная симметрия.

Осей симметрии у такого параллелограмма нет: диагональ не является осью, так как \(AB \ne AD\).

Пусть \(ABCD\) — прямоугольник, не квадрат, \(O\) — точка пересечения диагоналей.

1. Прямая, проходящая через середины сторон \(AB\) и \(CD\), — серединный перпендикуляр к \(AB\) и к \(CD\). Осевая симметрия относительно неё меняет местами \(A\) и \(B\), \(D\) и \(C\) — прямоугольник переходит в себя.
2. Так же осью служит прямая через середины сторон \(AD\) и \(BC\).
3. Прямоугольник — параллелограмм, поэтому у него есть центральная симметрия с центром \(O\).

Других нет: \(AB \ne BC\), поэтому вершина \(A\) может перейти только в \(B\), \(C\) или \(D\) так, чтобы сохранились длины сторон, и каждый вариант даёт одно из трёх найденных движений. Повороты на \(90^\circ\) не годятся — они перевели бы сторону \(AB\) в сторону длины \(BC\).

Пусть \(ABCD\) — ромб, не квадрат, \(O\) — точка пересечения диагоналей.

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой \(O\) пополам. Значит, прямая \(AC\) — серединный перпендикуляр к \(BD\): осевая симметрия относительно \(AC\) меняет местами \(B\) и \(D\), а \(A\) и \(C\) оставляет на месте. Ромб переходит в себя.
2. Так же осью служит диагональ \(BD\).
3. Ромб — параллелограмм, поэтому у него есть центральная симметрия с центром \(O\).

Других нет: диагонали ромба не равны (\(AC \ne BD\)), поэтому \(A\) может перейти только в \(A\) или \(C\), и перебор вариантов даёт тождественное преобразование и три найденных движения. Повороты на \(90^\circ\) переводили бы диагональ \(AC\) в отрезок длины \(BD\), поэтому не подходят.

Пусть \(ABCD\) — равнобедренная трапеция с основаниями \(AD\) и \(BC\), \(M\) и \(N\) — середины оснований.

1. В равнобедренной трапеции прямая \(MN\) перпендикулярна основаниям, то есть является серединным перпендикуляром к \(AD\) и к \(BC\). Осевая симметрия относительно \(MN\) меняет местами \(A\) и \(D\), \(B\) и \(C\) — трапеция переходит в себя.
2. Других симметрий нет. Основания не равны, поэтому любое движение, переводящее трапецию в себя, переводит большее основание \(AD\) в себя, а меньшее \(BC\) — в себя. Значит, либо \(A \to A\), \(D \to D\) (тогда и \(B\), \(C\) на месте — движение тождественное), либо \(A \to D\), \(D \to A\) — это осевая симметрия относительно \(MN\).

Центра симметрии у трапеции нет: центральная симметрия переводила бы основание \(AD\) в равный ему отрезок, а другое основание короче.