Упражнение 1272 к § 127

Около правильного \(n\)-угольника можно описать окружность с центром \(O\); вершины делят её на \(n\) равных дуг.

1. Серединный перпендикуляр к любой стороне проходит через \(O\) и является осью симметрии: он меняет местами концы этой стороны, а затем по цепочке — соседние вершины, так как равные дуги отображаются на равные дуги.
2. Прямая \(OA_k\), проходящая через вершину, тоже ось: она делит угол многоугольника пополам, и вершины по обе стороны от неё попарно симметричны.

Если \(n\) нечётное, каждая такая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны — осей \(n\). Если \(n\) чётное, осей \(\dfrac{n}{2}\) через пары противоположных вершин и \(\dfrac{n}{2}\) через середины противоположных сторон — снова \(n\).

Других осей нет: ось симметрии переводит многоугольник в себя, поэтому проходит через его центр \(O\) и переводит вершину \(A_1\) в одну из \(n\) вершин, а каждой вершине соответствует одна ось — серединный перпендикуляр к отрезку \(A_1A_k\) (или прямая \(OA_1\) при \(A_1 \to A_1\)).