Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 127

Упражнение 1273 к § 127

§ 127. Понятие симметрии фигур · тема: Симметрия фигур

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите симметрии правильного пятиугольника.

Решение

Пусть $$O$$ — центр правильного пятиугольника. Вершины делят описанную окружность на 5 равных дуг по $360^\circ : 5 = 72^\circ$ .

Осевые симметрии: 5 осей, каждая проходит через вершину и середину противоположной стороны (задача 1272).
Поворотные симметрии вокруг $$O$$ : поворот на $72^\circ$ переводит каждую вершину в соседнюю, значит, пятиугольник — в себя. Подходят повороты на $72^\circ$ и $144^\circ$ по часовой стрелке и против часовой стрелки — 4 поворота (повороты на $216^\circ$ и $288^\circ$ — это те же повороты на $144^\circ$ и $72^\circ$ в другую сторону).

Центральной симметрии нет: $180^\circ$ не делится на $72^\circ$ .

Всего $$5 + 4 = 9$$ симметрий.

Ответ

9 симметрий — 5 осевых и 4 поворота вокруг центра (на 72° и 144° по часовой и против часовой стрелки)

Почему так

Симметрии правильного многоугольника — осевые симметрии относительно его осей и повороты вокруг центра на углы, кратные 360°/n.

Подробнее — в теме «Симметрия фигур».

Задача 2

Условие (кратко)

Найдите симметрии правильного шестиугольника.

Решение

Пусть $$O$$ — центр правильного шестиугольника. Вершины делят описанную окружность на 6 дуг по $360^\circ : 6 = 60^\circ$ .

Осевые симметрии: 6 осей — 3 через пары противоположных вершин и 3 через середины противоположных сторон.
Повороты вокруг $$O$$ на $60^\circ$ и $120^\circ$ по часовой стрелке и против часовой стрелки — 4 поворотные симметрии.
Поворот на $180^\circ$ — центральная симметрия с центром $$O$$ : противоположные вершины симметричны относительно $$O$$ .

Всего $$6 + 4 + 1 = 11$$ симметрий.

Ответ

11 симметрий — 6 осевых, 4 поворота (на 60° и 120° в обе стороны) и центральная симметрия

Почему так

Повороты вокруг центра на углы, кратные 60°, переводят правильный шестиугольник в себя; поворот на 180° — центральная симметрия.

Подробнее — в теме «Симметрия фигур».

Задача 3

Условие (кратко)

Найдите симметрии правильного n-угольника.

Решение

Пусть $$O$$ — центр правильного $$n$$ -угольника $A_1A_2 \ldots A_n$ . Вершины делят описанную окружность на $$n$$ дуг по $\dfrac{360^\circ}{n}$ .

Осевые симметрии: $$n$$ осей, все проходят через $$O$$ (задача 1272).
Поворотные симметрии: повороты вокруг $$O$$ на углы $k \cdot \dfrac{360^\circ}{n}$ , $k = 1, 2, \ldots, n - 1$ (в одну сторону; поворот на угол $\varphi$ в одну сторону — то же, что на $360^\circ - \varphi$ в другую). Каждый переводит вершину в вершину через $$k$$ шагов, а многоугольник — в себя. Таких поворотов $$n - 1$$ . При чётном $$n$$ среди них есть поворот на $180^\circ$ — центральная симметрия.

Других нет: симметрия переводит $$A_1$$ в одну из $$n$$ вершин, а соседнюю $$A_2$$ — в одну из двух соседних с ней. Всего $$2n$$ вариантов, и каждый даёт одно движение. Один вариант — тождественное преобразование, оно симметрией не считается.

Всего $$n + (n - 1) = 2n - 1$$ симметрий.

Ответ

2n − 1 симметрий — n осевых и n − 1 поворотов вокруг центра на углы, кратные 360°/n (при чётном n среди них центральная симметрия)

Почему так

Симметрия правильного многоугольника определяется тем, куда переходят одна вершина и соседняя с ней, — получается 2n движений, из них одно тождественное.

Подробнее — в теме «Симметрия фигур».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки