Задача 1
Приведите пример многоугольника, не имеющего симметрий.
Решение
Пример — разносторонний треугольник \(ABC\), например со сторонами 3 см, 4 см, 6 см.
Докажем, что у него нет симметрий. Пусть движение переводит треугольник в себя. Вершины переходят в вершины, а длины сторон сохраняются. Сторона длины 6 см может перейти только в себя же, сторона 4 см — тоже в себя. Значит, их общая вершина остаётся на месте, а за ней и остальные: каждая вершина переходит в себя. Движение, оставляющее на месте три точки, не лежащие на одной прямой, — тождественное преобразование. А тождественное преобразование симметрией не считается.
Ответ
Движение сохраняет длины сторон, поэтому у фигуры, где все стороны разные, каждая вершина обязана остаться на месте.
Подробнее — в теме «Симметрия фигур».