Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.
Решение
Дано: четырёхугольник \(ABCD\), точка \(O\) — его центр симметрии. Доказать: \(ABCD\) — параллелограмм.
- Центральная симметрия с центром \(O\) переводит четырёхугольник в себя, поэтому вершины переходят в вершины. Точка \(O\) — единственная неподвижная точка этой симметрии, и она не вершина: иначе две стороны, выходящие из неё, перешли бы в их продолжения за точку \(O\), и угол при этой вершине был бы развёрнутым.
- Значит, вершина \(A\) переходит в другую вершину. Предположим, \(A \to B\) (соседняя вершина). Тогда \(B \to A\), и \(O\) — середина стороны \(AB\). Вершины \(C\) и \(D\) тоже переходят друг в друга, и \(O\) — середина стороны \(CD\). Но тогда стороны \(AB\) и \(CD\) имеют общую точку \(O\), а противоположные стороны четырёхугольника не пересекаются. Противоречие. Так же невозможно \(A \to D\).
- Значит, \(A \to C\) и \(B \to D\). Тогда \(O\) — середина диагоналей \(AC\) и \(BD\): диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам.
- По признаку параллелограмма \(ABCD\) — параллелограмм.
Ответ
Утверждение доказано: диагонали такого четырёхугольника делятся центром симметрии пополам, значит, это параллелограмм
Почему так
Центр симметрии оказывается серединой обеих диагоналей, а это признак параллелограмма.
Подробнее — в теме «Симметрия фигур».