Задача 1
Условие (кратко)
Приведите примеры фигур, имеющих бесконечно много центров симметрии.
Решение
- Прямая. Любая её точка \(O\) — центр симметрии: точка, симметричная точке прямой относительно \(O\), лежит на той же прямой.
- Полоса (часть плоскости между параллельными прямыми). Центр симметрии — любая точка средней линии полосы (прямой, равноудалённой от краёв): центральная симметрия относительно такой точки меняет края местами, а полосу переводит в себя.
- Пара параллельных прямых — так же, центры лежат на прямой посередине между ними.
- Вся плоскость — любая точка является центром симметрии.
Все эти фигуры неограниченные. У ограниченной фигуры (многоугольника, круга) центр симметрии может быть только один — см. задачу 1277.
Ответ
Например, прямая, полоса, пара параллельных прямых, вся плоскость
Почему так
Центров симметрии бесконечно много только у неограниченных фигур, которые переходят в себя при параллельном переносе.
Подробнее — в теме «Симметрия фигур».