Задача 1
Условие (кратко)
Существует ли многоугольник, имеющий ровно два центра симметрии? Ответ обоснуйте.
Решение
Предположим, у многоугольника \(F\) два центра симметрии \(O_1\) и \(O_2\).
- Выполним подряд симметрию относительно \(O_1\), затем относительно \(O_2\). Каждая переводит \(F\) в себя, значит, и результат переводит \(F\) в себя. Пусть точка \(X\) перешла в \(X_1\), а \(X_1\) — в \(X_2\). В треугольнике \(XX_1X_2\) точки \(O_1\) и \(O_2\) — середины сторон \(XX_1\) и \(X_1X_2\), поэтому \(O_1O_2\) — средняя линия: \(\overrightarrow{XX_2} = 2\overrightarrow{O_1O_2}\). Итак, это параллельный перенос на ненулевой вектор \(\vec{a} = 2\overrightarrow{O_1O_2}\).
- Проведём прямую \(m\), перпендикулярную \(\vec{a}\), и возьмём вершину \(A\) многоугольника, которая дальше всех ушла от \(m\) в направлении \(\vec{a}\). При переносе на \(\vec{a}\) она переходит в точку, ушедшую ещё дальше, — эта точка не принадлежит \(F\). Значит, перенос не переводит \(F\) в себя. Противоречие.
Значит, у многоугольника не может быть двух центров симметрии (центр симметрии у него не больше одного).
Ответ
Нет. Две центральные симметрии подряд дают параллельный перенос, а многоугольник не может перейти в себя при переносе на ненулевой вектор
Почему так
Композиция симметрий относительно двух разных центров — параллельный перенос, а ограниченная фигура не обладает переносной симметрией.
Подробнее — в теме «Симметрия фигур».