Задача 1
Условие (кратко)
Может ли многоугольник иметь две параллельные оси симметрии? Ответ обоснуйте.
Решение
Предположим, у многоугольника \(F\) есть параллельные оси симметрии \(l_1\) и \(l_2\), расстояние между ними \(d > 0\).
- Выполним подряд осевую симметрию относительно \(l_1\), затем относительно \(l_2\). Результат переводит \(F\) в себя. Проведём через произвольную точку \(X\) прямую, перпендикулярную осям. Точка \(X\) перейдёт в \(X_1\), затем в \(X_2\) — все на этой перпендикулярной прямой. Если ось \(l_1\) пересекает её в точке \(P\), а \(l_2\) — в точке \(Q\), то \(\overrightarrow{XX_2} = 2\overrightarrow{PQ}\) (расстояния от осей сохраняются при каждом отражении). Итак, это параллельный перенос на вектор длины \(2d\), перпендикулярный осям.
- Как в задаче 1277: вершина многоугольника, сильнее всех продвинутая в направлении переноса, переходит в точку вне многоугольника. Значит, перенос не переводит \(F\) в себя. Противоречие.
Ответ
Нет. Две симметрии относительно параллельных осей подряд дают параллельный перенос, а многоугольник при переносе в себя не переходит
Почему так
Композиция осевых симметрий с параллельными осями — перенос на удвоенное расстояние между осями.
Подробнее — в теме «Симметрия фигур».