Упражнение 1279 к § 128

Нужна фигура, которая переходит в себя при параллельном переносе на ненулевой вектор. Ограниченная фигура так не умеет, поэтому строим бесконечную ленту — бордюр.

1. Проведите прямую \(a\). Постройте прямоугольный треугольник \(ABC\) с катетом \(AB\) на прямой \(a\), например \(AB = 3\) см, \(BC = 2\) см.
2. Задайте вектор \(\vec{v} = \overrightarrow{AB}\) вдоль прямой \(a\).
3. Выполните перенос треугольника на \(\vec{v}\), \(2\vec{v}\), \(3\vec{v}\), … вправо и на \(-\vec{v}\), \(-2\vec{v}\), … влево (в графическом редакторе — копирование со сдвигом).

Получится «пила» из треугольников вдоль прямой. Если считать ряд бесконечным в обе стороны, перенос на \(\vec{v}\) сдвигает каждый треугольник на место соседнего, и фигура совпадает сама с собой.

1. Постройте ромб \(ABCD\) так, чтобы диагональ \(AC\) лежала на прямой \(a\).
2. Задайте вектор \(\vec{v} = \overrightarrow{AC}\).
3. Перенесите ромб на \(\pm\vec{v}\), \(\pm 2\vec{v}\), … — ромбы встанут цепочкой, касаясь друг друга вершинами.

Бесконечная цепочка переходит в себя при переносе на \(\vec{v}\): каждый ромб занимает место соседнего. Можно взять и вектор \(\overrightarrow{AB}\) вдоль стороны — получится «косая» лента из ромбов, прилегающих сторонами.

1. Постройте равнобедренную трапецию \(ABCD\) с большим основанием \(AD\) на прямой \(a\).
2. Задайте вектор \(\vec{v} = \overrightarrow{AD}\).
3. Перенесите трапецию на \(\pm\vec{v}\), \(\pm 2\vec{v}\), … — трапеции встанут в ряд, касаясь вершинами нижних оснований.

Вариант интереснее: рядом с трапецией поставьте её копию, повёрнутую вверх ногами (симметричную относительно середины боковой стороны), — получится параллелограмм из двух трапеций. Переносите эту пару на вектор, равный сумме оснований, — лента без просветов. В обоих случаях бесконечный ряд переходит в себя при переносе.