(Задание для решения с компьютером.) Постройте фигуру, обладающую поворотной симметрией, составленную из равных равносторонних треугольников.
Решение
Отметьте точку \(O\) и постройте равносторонний треугольник \(OAB\).
Поверните его вокруг \(O\) на \(60^\circ\), затем ещё на \(60^\circ\) и так далее — всего 6 треугольников. Они заполнят правильный шестиугольник: \(6 \cdot 60^\circ = 360^\circ\).
Шестиугольник переходит в себя при повороте вокруг \(O\) на \(60^\circ\) — каждый треугольник занимает место соседнего. Можно взять и 3 треугольника с общей вершиной \(O\), поставленные через один (поворот на \(120^\circ\)), — получится «вертушка» с поворотной симметрией на \(120^\circ\).
Ответ
Например, правильный шестиугольник из 6 равносторонних треугольников с общей вершиной O; он переходит в себя при повороте вокруг O на 60°
Почему так
Розетка строится поворотом одного элемента вокруг центра на один и тот же угол.
(Задание для решения с компьютером.) Постройте фигуру, обладающую поворотной симметрией, составленную из равных ромбов.
Решение
Постройте ромб \(OABC\) с острым углом \(60^\circ\) при вершине \(O\).
Поверните его вокруг \(O\) на \(60^\circ\) пять раз — шесть ромбов с общей вершиной \(O\) образуют шестиконечную звезду (\(6 \cdot 60^\circ = 360^\circ\)).
Звезда переходит в себя при повороте вокруг \(O\) на \(60^\circ\). Другой вариант — три ромба с углом \(120^\circ\) при вершине \(O\), повёрнутые на \(120^\circ\), складываются в правильный шестиугольник («кубик»), у которого есть поворотная симметрия на \(120^\circ\).
Ответ
Например, звезда из 6 ромбов с углом 60° при общей вершине O; она переходит в себя при повороте вокруг O на 60°
Почему так
Если повернуть элемент вокруг точки на угол 360°/n ровно n − 1 раз, получится фигура с поворотной симметрией.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).