Задача 1
Условие (кратко)
Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что отрезки этих прямых, заключённые внутри квадрата, равны.
Решение
Дано: квадрат \(ABCD\) с центром \(O\); прямые \(l\) и \(m\) проходят через \(O\), \(l \perp m\); \(PQ\) и \(RS\) — части прямых \(l\) и \(m\) внутри квадрата. Доказать: \(PQ = RS\).
- Рассмотрим поворот вокруг \(O\) на \(90^\circ\). Он переводит квадрат в себя: \(OA = OB = OC = OD\), а \(\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ\), поэтому \(A \to B \to C \to D \to A\).
- Прямая \(l\) проходит через центр поворота, поэтому переходит в прямую через \(O\), перпендикулярную \(l\), то есть в прямую \(m\).
- Отрезок \(PQ\) — общая часть прямой \(l\) и квадрата. При повороте он переходит в общую часть образов — прямой \(m\) и квадрата, то есть в отрезок \(RS\).
- Поворот — движение, поэтому \(PQ = RS\).
Ответ
Утверждение доказано: поворот вокруг центра на 90° переводит квадрат в себя, а одну прямую — в другую
Почему так
Поворот на 90° вокруг центра — симметрия квадрата, он переводит один отрезок в другой, а движение сохраняет длины.
Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».