Задача 1
Условие (кратко)
Точки A, B, C лежат на прямой a, B между A и C. По одну сторону от прямой построены равносторонние треугольники ABM и BCN. Докажите, что AN = MC, и найдите угол между этими отрезками.
Решение
Дано
- \(B\) лежит на отрезке \(AC\); \(\triangle ABM\) и \(\triangle BCN\) равносторонние
- \(M\) и \(N\) по одну сторону от прямой \(AC\). Доказать: \(AN = MC\)
Найти
- угол между прямыми \(AN\) и \(MC\)
- Углы при точке \(B\): \(\angle ABM = 60^\circ\), \(\angle NBC = 60^\circ\), поэтому \(\angle MBN = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ\).
- Рассмотрим поворот вокруг \(B\) на \(60^\circ\) в направлении от луча \(BC\) к лучу \(BN\). Так как \(BN = BC\) и \(\angle CBN = 60^\circ\), точка \(C\) переходит в \(N\). Луч \(BM\) отстоит от \(BN\) ещё на \(60^\circ\) в ту же сторону, а луч \(BA\) — ещё на \(60^\circ\); так как \(BA = BM\), точка \(M\) переходит в \(A\).
- Значит, отрезок \(MC\) переходит в отрезок \(AN\). Поворот — движение, поэтому \(AN = MC\).
- Если при повороте на угол \(60^\circ\) прямая переходит в другую прямую, угол между ними равен \(60^\circ\) или \(180^\circ - 60^\circ\) (задача 1269). Угол между прямыми берут не больше \(90^\circ\), значит, он равен \(60^\circ\).
Проверка на числах: \(B(0; 0)\), \(A(-2; 0)\), \(C(3; 0)\), тогда \(M(-1; \sqrt{3})\), \(N(1{,}5; 1{,}5\sqrt{3})\). Векторы \(\overrightarrow{AN}\{3{,}5; 1{,}5\sqrt{3}\}\) и \(\overrightarrow{MC}\{4; -\sqrt{3}\}\) имеют длины \(\sqrt{19}\), а \(\cos\varphi = \dfrac{14 - 4{,}5}{19} = \dfrac{1}{2}\), \(\varphi = 60^\circ\).
Ответ
AN = MC, угол между прямыми AN и MC равен 60°
Почему так
Поворот вокруг B на 60° переводит отрезок MC в отрезок AN, поэтому они равны, а угол между ними равен углу поворота.
Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».