Задача 1
Условие (кратко)
A, B, C — вершины треугольника, на сторонах AB и BC внешним образом построены равносторонние треугольники ABM и BCN. Докажите, что AN = MC, и найдите угол между этими отрезками.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\); \(\triangle ABM\) и \(\triangle BCN\) равносторонние
- построены вне треугольника \(ABC\). Доказать: \(AN = MC\)
Найти
- угол между прямыми \(AN\) и \(MC\)
- Рассмотрим поворот вокруг \(B\) на \(60^\circ\) в направлении от луча \(BC\) к лучу \(BN\). Так как \(BN = BC\) и \(\angle CBN = 60^\circ\), точка \(C\) переходит в \(N\).
- Поворот от луча \(BC\) к лучу \(BN\) уводит луч \(BC\) из угла \(ABC\) наружу (треугольник \(BCN\) внешний). Поворот от луча \(BA\) к лучу \(BM\) тоже уводит наружу, но через другую сторону угла — значит, он идёт в противоположном направлении. Поэтому поворот от \(BM\) к \(BA\) идёт в том же направлении, что от \(BC\) к \(BN\), и тоже на \(60^\circ\). Так как \(BM = BA\), наш поворот переводит \(M\) в \(A\).
- Отрезок \(MC\) переходит в отрезок \(AN\), поэтому \(AN = MC\).
- Угол между прямыми, одна из которых получена из другой поворотом на \(60^\circ\), равен \(60^\circ\) (задача 1269).
Итак, ответ тот же, что в задаче 1282: там точки \(A\), \(B\), \(C\) лежали на одной прямой, здесь — нет, но рассуждение не меняется.
Ответ
AN = MC, угол между прямыми AN и MC равен 60°
Почему так
Поворот вокруг общей вершины B на 60° переводит отрезок MC в отрезок AN.
Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».