Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., § 129, упражнение 1284

Условие (кратко)

Постройте квадрат, если даны его центр и прямая, на которой лежит одна из сторон квадрата.

Решение

Дано: точка $$O$$ и прямая $$l$$ , $O \notin l$ . Построить квадрат $$ABCD$$ с центром $$O$$ , сторона $$AB$$ которого лежит на $$l$$ .

Анализ. Центр квадрата удалён от всех сторон на половину стороны, а его проекция $$H$$ на $$AB$$ — середина $$AB$$ . Значит, $$HA = HB = OH$$ . Поворот вокруг $$O$$ на $90^\circ$ переводит квадрат в себя: $A \to B \to C \to D$ .

Построение.

Опустим перпендикуляр $$OH$$ на прямую $$l$$ .
Окружностью с центром $$H$$ радиуса $$OH$$ отметим на $$l$$ точки $$A$$ и $$B$$ .
Построим точки $$C$$ и $$D$$ , симметричные $$A$$ и $$B$$ относительно $$O$$ : на продолжении луча $$AO$$ отложим $$OC = OA$$ , на продолжении луча $$BO$$ — $$OD = OB$$ .
$$ABCD$$ — искомый квадрат.

Доказательство. Треугольники $$OHA$$ и $$OHB$$ прямоугольные равнобедренные, поэтому $$OA = OB$$ и $\angle AOB = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$ . Поворот вокруг $$O$$ на $90^\circ$ переводит $$A$$ в $$B$$ , а значит, $$B$$ в $$C$$ , $$C$$ в $$D$$ (центральная симметрия — это поворот на $180^\circ$ ). Четырёхугольник, переходящий в себя при повороте на $90^\circ$ вокруг точки пересечения диагоналей, — квадрат: диагонали $$AC = BD$$ , перпендикулярны и делятся точкой $$O$$ пополам.

Если $$O$$ лежит на прямой $$l$$ , задача решения не имеет: центр квадрата не может лежать на прямой, содержащей сторону.

Ответ

Квадрат строится однозначно: A и B — точки прямой на расстоянии OH от основания перпендикуляра H, C и D симметричны им относительно O; если O лежит на прямой, решений нет

Почему так

Поворот вокруг центра на 90° — симметрия квадрата, поэтому вершины лежат на прямой на расстоянии OH от проекции центра.

Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».

Упражнение 1284 к § 129

Задача 1

Похожие задачи для тренировки