Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., § 129, упражнение 1285

Условие (кратко)

Постройте квадрат, если даны его центр и две точки, лежащие на прямых, содержащих параллельные стороны квадрата.

Решение

Дано: точка $$O$$ и точки $$P$$ , $$Q$$ . Построить квадрат $$ABCD$$ с центром $$O$$ , у которого $$P$$ лежит на прямой $$AB$$ , а $$Q$$ — на прямой $$CD$$ .

Анализ. Поворот вокруг $$O$$ на $180^\circ$ (центральная симметрия) переводит квадрат в себя, а прямую $$CD$$ — в прямую $$AB$$ . Значит, точка $$Q_1$$ , симметричная $$Q$$ относительно $$O$$ , лежит на прямой $$AB$$ . Через две точки $$P$$ и $$Q_1$$ прямая $$AB$$ проводится однозначно.

Построение.

На продолжении луча $$QO$$ за точку $$O$$ отложим $$OQ_1 = OQ$$ .
Проведём прямую $$PQ_1$$ — это прямая $$AB$$ .
Теперь известны центр и прямая, содержащая сторону; достроим квадрат, как в задаче 1284.

Исследование.

Точки $$O$$ , $$P$$ , $$Q$$ не лежат на одной прямой — одно решение.
$$O$$ — середина отрезка $$PQ$$ (то есть $$Q_1 = P$$ ) — решений бесконечно много: прямой $$AB$$ может быть любая прямая через $$P$$ , не проходящая через $$O$$ .
Точки $$O$$ , $$P$$ , $$Q$$ лежат на одной прямой, но $$O$$ не середина $$PQ$$ — прямая $$PQ_1$$ проходит через $$O$$ , и решений нет.

Ответ

Строим точку Q₁, симметричную Q относительно O; прямая PQ₁ содержит сторону, дальше — как в задаче 1284. Если O, P, Q не на одной прямой — одно решение

Почему так

Центральная симметрия квадрата переводит прямую одной стороны в прямую противоположной, и задача сводится к задаче 1284.

Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».

Упражнение 1285 к § 129

Задача 1

Похожие задачи для тренировки