Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если для прямоугольников ABCD и A₁B₁C₁D₁ выполняются равенства AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁, то прямоугольники равны.
Решение
Дано: \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) — прямоугольники, \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\). Доказать: \(ABCD = A_1B_1C_1D_1\).
- Все углы обоих прямоугольников прямые, поэтому \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\), \(\angle C = \angle C_1\), \(\angle D = \angle D_1\).
- Противоположные стороны прямоугольника равны: \(CD = AB = A_1B_1 = C_1D_1\), \(DA = BC = B_1C_1 = D_1A_1\).
- Значит, все сходственные стороны равны, то есть четырёхугольники подобны с коэффициентом \(k = 1\).
- По теореме п. 131 подобные многоугольники с коэффициентом 1 равны. Поэтому \(ABCD = A_1B_1C_1D_1\).
Ответ
Утверждение доказано — углы соответственно равны и сходственные стороны равны, значит, прямоугольники равны
Почему так
Многоугольники с соответственно равными углами и равными сходственными сторонами равны (подобие с k = 1).
Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».