Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 131

Упражнение 1299 к § 131

§ 131. Подобные многоугольники · тема: Подобные многоугольники

Задача 1

Условие (кратко)

Четырёхугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ подобны. На рисунке: ∠A = ∠A₁ = 90°, AB = 4, AD = 6, ∠C = 100°, A₁D₁ = 12, C₁D₁ = 10. Найдите коэффициент подобия.

Решение

Дано

$ABCD \sim A_1B_1C_1D_1$
$$AD = 6$$
$$A_1D_1 = 12$$

Найти

$$k$$

Стороны $$AD$$ и $$A_1D_1$$ сходственные: они лежат между углами $$A$$ , $$D$$ и $$A_1$$ , $$D_1$$ . Коэффициент подобия $$ABCD$$ относительно $$A_1B_1C_1D_1$$ :

k = \dfrac{AD}{A_1D_1} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}.

Соответственно,

\(A_1B_1C_1D_1\)

подобен

\(ABCD\)

с коэффициентом 2.

Ответ

k = 1/2 (ABCD относительно A₁B₁C₁D₁); обратный коэффициент 2

Почему так

Коэффициент подобия — отношение сходственных сторон.

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Задача 2

Условие (кратко)

Четырёхугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ подобны. На рисунке ∠A = 90°, ∠C = 100°. Найдите ∠A₁ и ∠C₁.

Решение

Дано

$ABCD \sim A_1B_1C_1D_1$
$\angle A = 90^\circ$
$\angle C = 100^\circ$

Найти

$\angle A_1$
$\angle C_1$

У подобных многоугольников соответственные углы равны: $\angle A_1 = \angle A = 90^\circ$ (на рисунке он и отмечен как прямой), $\angle C_1 = \angle C = 100^\circ$ .

Ответ

∠A₁ = 90°, ∠C₁ = 100°

Почему так

По определению подобных многоугольников их соответственные углы равны.

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Задача 3

Условие (кратко)

Четырёхугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ подобны. На рисунке AB = 4, AD = 6, A₁D₁ = 12, C₁D₁ = 10. Найдите A₁B₁ и CD.

Решение

Дано

$ABCD \sim A_1B_1C_1D_1$
$$AB = 4$$
$$AD = 6$$
$$A_1D_1 = 12$$
$$C_1D_1 = 10$$

Найти

$$A_1B_1$$
$$CD$$

Коэффициент подобия $$A_1B_1C_1D_1$$ относительно $$ABCD$$ равен $\dfrac{A_1D_1}{AD} = \dfrac{12}{6} = 2$ . Сходственные стороны отличаются вдвое:

A_1B_1 = 2 \cdot AB = 2 \cdot 4 = 8, \qquad CD = \dfrac{C_1D_1}{2} = \dfrac{10}{2} = 5.

Ответ

A₁B₁ = 8, CD = 5

Почему так

Сходственные стороны подобных многоугольников пропорциональны с коэффициентом k.

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки