Задача 1
Условие (кратко)
Подобные пятиугольники (рис. 388): у большего стороны 9, y, z, 5, 7, у меньшего сходственные им x, 4, 5, 3, t; угол β соответствует 70°, угол 145° — углу α. Найдите x, y, z, t, α, β.
Решение
Дано
- пятиугольники подобны; данные рисунка — в условии
Найти
- \(x\)
- \(y\)
- \(z\)
- \(t\)
- \(\alpha\)
- \(\beta\)
- Соответствие вершин. Прямые углы соответствуют друг другу; углы, отмеченные двумя дугами (между 9 и \(y\) и между \(x\) и 4), тоже. Тогда сходственны стороны: \(9\) и \(x\), \(y\) и \(4\), \(z\) и \(5\), \(5\) и \(3\), \(7\) и \(t\); угол \(\beta\) (между 9 и 7) соответствует углу \(70^\circ\) (между \(x\) и \(t\)), а угол \(145^\circ\) (между 7 и 5) — углу \(\alpha\) (между \(t\) и 3).
- Углы: \(\alpha = 145^\circ\), \(\beta = 70^\circ\).
- Коэффициент подобия большего относительно меньшего находим по известной паре сходственных сторон 5 и 3: \(k = \dfrac{5}{3}\).
- Стороны:
\[x = 9 : \dfrac{5}{3} = \dfrac{27}{5} = 5\dfrac{2}{5}, \quad y = 4 \cdot \dfrac{5}{3} = 6\dfrac{2}{3}, \quad z = 5 \cdot \dfrac{5}{3} = 8\dfrac{1}{3}, \quad t = 7 : \dfrac{5}{3} = \dfrac{21}{5} = 4\dfrac{1}{5}.\]
Ответ
x = 5 2/5, y = 6 2/3, z = 8 1/3, t = 4 1/5, α = 145°, β = 70°
Почему так
Соответственные углы подобных многоугольников равны, сходственные стороны отличаются в k раз.
Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».