Задача 1
Условие (кратко)
Подобны ли ABCD и A₁B₁C₁D₁ (рис. 390)? Их стороны AB, BC, CD, DA и A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁ равны 2a, 2b, 2c, 2d и 3a, 3b, 3c, 3d; углы A, B, C и A₁, B₁, C₁ равны 80°, 85°, 90°.
Решение
Дано
- данные рисунка — в условии
Найти
- подобны ли \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\)
- Углы. \(\angle A_1 = \angle A = 80^\circ\), \(\angle B_1 = \angle B = 85^\circ\), \(\angle C_1 = \angle C = 90^\circ\). Сумма углов четырёхугольника \(360^\circ\), поэтому
\[\angle D = 360^\circ - 80^\circ - 85^\circ - 90^\circ = 105^\circ = \angle D_1.\]Все углы соответственно равны.
- Стороны. Сходственные стороны лежат между равными углами:
\[\dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{3a}{2a} = \dfrac{B_1C_1}{BC} = \dfrac{3b}{2b} = \dfrac{C_1D_1}{CD} = \dfrac{3c}{2c} = \dfrac{D_1A_1}{DA} = \dfrac{3d}{2d} = \dfrac{3}{2}.\]
- Углы равны, стороны пропорциональны — четырёхугольники подобны, \(k = \dfrac{3}{2}\).
Ответ
Да, подобны с коэффициентом 3/2
Почему так
Оба условия определения выполнены — углы соответственно равны, сходственные стороны пропорциональны.
Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».