Задача 1
Условие (кратко)
Периметры подобных четырёхугольников MNPQ и M₁N₁P₁Q₁ относятся как 3 : 5. MN = 7 см, а P₁Q₁ на 5 см больше M₁N₁. Найдите PQ.
Решение
Дано
- \(MNPQ \sim M_1N_1P_1Q_1\)
- \(P : P_1 = 3 : 5\)
- \(MN = 7\) см
- \(P_1Q_1 = M_1N_1 + 5\) см
Найти
- \(PQ\)
- Отношение периметров равно коэффициенту подобия, поэтому каждая сторона \(M_1N_1P_1Q_1\) в \(\dfrac{5}{3}\) раза больше сходственной стороны \(MNPQ\).
- \(M_1N_1 = \dfrac{5}{3} \cdot 7 = \dfrac{35}{3}\) см.
- \(P_1Q_1 = \dfrac{35}{3} + 5 = \dfrac{50}{3}\) см.
- \(PQ = \dfrac{3}{5} \cdot P_1Q_1 = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{50}{3} = 10\) см.
Короче: \(P_1Q_1 - M_1N_1 = \dfrac{5}{3}(PQ - MN)\), то есть \(5 = \dfrac{5}{3}(PQ - 7)\), откуда \(PQ = 10\) см.
Ответ
PQ = 10 см
Почему так
Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия, а сходственные стороны отличаются в k раз.
Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».