Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 132

Упражнение 1306 к § 132

§ 132. Теоремы о периметрах и площадях подобных многоугольников · тема: Подобные многоугольники

Задача 1

Условие (кратко)

Многоугольники F₁ и F₂ подобны, S₁ и S₂ — их площади, k — коэффициент подобия F₁ относительно F₂. Найдите k, если S₁ = 27 см², S₂ = 3 см².

Решение

Дано

$$S_1 = 27$$ см²
$$S_2 = 3$$ см²

Найти

$$k$$

По теореме о площадях $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$ , поэтому $k^2 = \dfrac{27}{3} = 9$ , $$k = 3$$ .

Ответ

k = 3

Почему так

Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Задача 2

Условие (кратко)

Многоугольники F₁ и F₂ подобны, S₁ и S₂ — их площади, k — коэффициент подобия F₁ относительно F₂. Найдите S₂, если S₁ = 640 см², k = 2.

Решение

Дано

$$S_1 = 640$$ см²
$$k = 2$$

Найти

$$S_2$$

$\dfrac{S_1}{S_2} = k^2 = 4$ , откуда $S_2 = \dfrac{640}{4} = 160$ см².

Ответ

S₂ = 160 см²

Почему так

Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Задача 3

Условие (кратко)

Многоугольники F₁ и F₂ подобны, S₁ и S₂ — их площади, k — коэффициент подобия F₁ относительно F₂. Найдите S₁, если S₂ = 54 дм², k = 2/3.

Решение

Дано

$$S_2 = 54$$ дм²
$k = \dfrac{2}{3}$

Найти

$$S_1$$

$S_1 = k^2 S_2 = \dfrac{4}{9} \cdot 54 = 24$ дм².

Ответ

S₁ = 24 дм²

Почему так

Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Задача 4

Условие (кратко)

Многоугольники F₁ и F₂ подобны, S₁ и S₂ — их площади, k — коэффициент подобия F₁ относительно F₂. Найдите k, если S₁ = 24 см², S₂ = 6 мм².

Решение

Дано

$$S_1 = 24$$ см²
$$S_2 = 6$$ мм²

Найти

$$k$$

Площади нужно выразить в одних единицах: $$1$$ см² $$= 100$$ мм², поэтому $$S_1 = 2400$$ мм².

k^2 = \dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{2400}{6} = 400, \qquad k = 20.

В ответах учебника указано

\(k = 2\)

— так получится, если не перевести единицы (

\(24 : 6 = 4\)

). С учётом единиц верный ответ

\(k = 20\)

Ответ

k = 20

Почему так

Отношение площадей равно k²; перед делением площади переводят в одни единицы (1 см² = 100 мм²).

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Задача 5

Условие (кратко)

Многоугольники F₁ и F₂ подобны, S₁ и S₂ — их площади, k — коэффициент подобия F₁ относительно F₂. Найдите S₁, если S₂ = 4a² см², k = √a.

Решение

Дано

$$S_2 = 4a^2$$ см²
$k = \sqrt{a}$

Найти

$$S_1$$

$S_1 = k^2 S_2 = (\sqrt{a})^2 \cdot 4a^2 = a \cdot 4a^2 = 4a^3$ см².

Ответ

S₁ = 4a³ см²

Почему так

Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Похожие задачи для тренировки