Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 132

Упражнение 1307 к § 132

§ 132. Теоремы о периметрах и площадях подобных многоугольников · тема: Подобные многоугольники

Задача 1

Условие (кратко)

Сторона квадрата F равна a. Многоугольник F₁ подобен F. Докажите, что F₁ — квадрат (в учебнике опечатка «F — квадрат»).

Решение

Дано: $$F$$ — квадрат со стороной $$a$$ , $F_1 \sim F$ с коэффициентом $$k$$ . Доказать: $$F_1$$ — квадрат.

Подобными бывают только одноимённые многоугольники, поэтому $$F_1$$ — четырёхугольник.
Углы $$F_1$$ соответственно равны углам квадрата, то есть все прямые.
Каждая сторона $$F_1$$ равна $$k$$ , умноженному на сходственную сторону $$F$$ , а все стороны $$F$$ равны $$a$$ . Значит, все стороны $$F_1$$ равны $$ka$$ .
Четырёхугольник с прямыми углами и равными сторонами — квадрат.

В условии учебника напечатано «докажите, что многоугольник $$F$$ — квадрат», но $$F$$ — квадрат по условию; доказывать нужно про $$F_1$$ .

Ответ

Доказано — F₁ имеет прямые углы и равные стороны ka, значит, это квадрат

Почему так

Подобие сохраняет углы и отношения сторон, поэтому фигура, подобная квадрату, — квадрат.

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Задача 2

Условие (кратко)

Сторона квадрата F равна a, многоугольник F₁ подобен F. Найдите площадь F₁, если коэффициент подобия многоугольников F и F₁ равен k.

Решение

Дано

$$F$$ — квадрат со стороной $$a$$
$F_1 \sim F$
коэффициент подобия $$k$$

Найти

$S_{F_1}$

Коэффициент понимаем как в учебнике: $$k$$ — отношение сторон $$F_1$$ к сходственным сторонам $$F$$ . Площадь квадрата $$F$$ равна $$a^2$$ . По теореме о площадях $S_{F_1} = k^2 S_F = k^2a^2$ .

Проверка через пункт а: $$F_1$$ — квадрат со стороной $$ka$$ , его площадь $$(ka)^2 = k^2a^2$$ .

Ответ

S = k²a²

Почему так

Площади подобных многоугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки