Отметьте точки O, A, B, C, D. Постройте точки A₁, B₁, C₁, D₁, в которые переходят A, B, C, D при гомотетии с центром O и коэффициентом 2.
Решение
Проведите луч \(OA\) и отложите на нём от точки \(O\) отрезок \(OA_1 = 2 \cdot OA\) (циркулем дважды отложите отрезок \(OA\), начиная от \(O\); точка \(A\) окажется серединой \(OA_1\)).
Так же постройте \(B_1\) на луче \(OB\), \(C_1\) на луче \(OC\), \(D_1\) на луче \(OD\): \(OB_1 = 2OB\), \(OC_1 = 2OC\), \(OD_1 = 2OD\).
Коэффициент положительный, поэтому каждая новая точка лежит на том же луче, что и исходная, вдвое дальше от центра. Получилось \(\overrightarrow{OA_1} = 2\overrightarrow{OA}\) и т. д. — это и есть определение гомотетии с \(k = 2\). Для контроля: отрезок \(A_1B_1\) параллелен \(AB\) и вдвое длиннее.
Ответ
Точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на лучах OA, OB, OC, OD, каждая вдвое дальше от O, чем исходная
Почему так
При k > 0 образ точки M лежит на луче OM и OM₁ = k · OM.
Те же точки O, A, B, C, D. Постройте их образы A₁, B₁, C₁, D₁ при гомотетии с центром O и коэффициентом k = −3.
Решение
Проведите прямую \(AO\) и продлите её за точку \(O\).
На продолжении луча \(OA\) за точку \(O\) отложите отрезок \(OA_1 = 3 \cdot OA\) (циркулем трижды отложите отрезок \(OA\), начиная от \(O\), в сторону, противоположную \(A\)).
Так же постройте \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\): каждая точка лежит по другую сторону от \(O\), чем исходная, втрое дальше от центра.
Коэффициент отрицательный, поэтому образ лежит на продолжении луча за центр, а расстояние умножается на \(|k| = 3\): \(\overrightarrow{OA_1} = -3\overrightarrow{OA}\). Для контроля: \(A_1B_1 \parallel AB\) и \(A_1B_1 = 3AB\).
Ответ
Точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на продолжениях лучей OA, OB, OC, OD за точку O, каждая втрое дальше от O
Почему так
При k < 0 образ лежит на продолжении луча OM за центр, OM₁ = |k| · OM.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).