Отмечены точки O, A₁, B₁, C₁. Постройте точки A, B, C, которые при гомотетии с центром O и k = 3 переходят в A₁, B₁, C₁ (в учебнике опечатка «A₁, B₁, C»).
Решение
Нужно, чтобы \(\overrightarrow{OA_1} = 3\overrightarrow{OA}\), то есть \(\overrightarrow{OA} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA_1}\): точка \(A\) лежит на отрезке \(OA_1\) и \(OA = \dfrac{1}{3}OA_1\).
Разделите отрезок \(OA_1\) на три равные части: из \(O\) проведите вспомогательный луч, отложите на нём циркулем три равных отрезка \(OP_1 = P_1P_2 = P_2P_3\), соедините \(P_3\) с \(A_1\) и через \(P_1\) проведите прямую, параллельную \(P_3A_1\). Она пересечёт \(OA_1\) в искомой точке \(A\) (по теореме Фалеса \(OA = \dfrac{1}{3}OA_1\)).
Так же постройте \(B\) на отрезке \(OB_1\) и \(C\) на отрезке \(OC_1\).
Проверка: точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на лучах \(OA_1\), \(OB_1\), \(OC_1\), и \(OA_1 = 3OA\) — это гомотетия с \(k = 3\).
Ответ
A, B, C лежат на отрезках OA₁, OB₁, OC₁, каждая на расстоянии трети отрезка от O
Почему так
Гомотетия с k = 3 переводит A в A₁, если OA₁ = 3 · OA и A₁ на луче OA, значит, A на трети отрезка OA₁.
Выполните то же построение (найдите A, B, C по образам A₁, B₁, C₁) для гомотетии с центром O и коэффициентом k, равным −2; 1 и 1/3.
Решение
Во всех случаях \(\overrightarrow{OA} = \dfrac{1}{k}\overrightarrow{OA_1}\).
\(k = -2\): \(\overrightarrow{OA} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA_1}\). Постройте середину \(M\) отрезка \(OA_1\) (серединным перпендикуляром) и отложите на продолжении луча \(OA_1\) за точку \(O\) отрезок \(OA = OM\). Так же для \(B\) и \(C\). Точки \(A\), \(B\), \(C\) окажутся по другую сторону от \(O\), вдвое ближе к центру.
\(k = 1\): гомотетия оставляет все точки на месте, поэтому \(A = A_1\), \(B = B_1\), \(C = C_1\).
\(k = \dfrac{1}{3}\): \(\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{OA_1}\). На луче \(OA_1\) отложите от \(O\) три раза отрезок \(OA_1\), конец — точка \(A\). Так же \(B\) и \(C\): они на тех же лучах, втрое дальше от \(O\).
Ответ
k = −2 — точки за центром на расстоянии OA₁/2; k = 1 — A = A₁, B = B₁, C = C₁; k = 1/3 — на тех же лучах, OA = 3·OA₁
Почему так
Если OA₁ = k·OA (векторно), то OA = (1/k)·OA₁ — исходную точку находят гомотетией с коэффициентом 1/k.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).