Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 134

Упражнение 1311 к § 134

§ 134. Свойства гомотетии · тема: Гомотетия

Задача 1

Условие (кратко)

Отмечена точка O и прямая l, не проходящая через O. Постройте прямую, в которую переходит l при гомотетии с центром O и k = 2.

Решение

Отметьте на прямой $$l$$ любую точку $$A$$ и проведите луч $$OA$$ .
На луче $$OA$$ отложите $OA_1 = 2 \cdot OA$ .
Через $$A_1$$ проведите прямую $l_1 \parallel l$ .

По свойству 1 гомотетии прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей прямую; она проходит через образ $$A_1$$ точки $$A$$ . Значит, $$l_1$$ — искомая прямая. Она лежит по ту же сторону от $$O$$ , что и $$l$$ , вдвое дальше от центра. Для контроля можно построить образ второй точки $B \in l$ — он тоже окажется на $$l_1$$ .

Ответ

Прямая l₁ ∥ l по ту же сторону от O, расстояние от O до l₁ вдвое больше, чем до l

Почему так

Прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную прямую через образ любой своей точки.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 2

Условие (кратко)

То же построение образа прямой l (O ∉ l) для гомотетии с центром O и k = −0,5.

Решение

Возьмите точку $A \in l$ и проведите прямую $$AO$$ .
На продолжении луча $$OA$$ за точку $$O$$ отложите $OA_1 = 0{,}5 \cdot OA$ (постройте середину $$M$$ отрезка $$OA$$ и отложите $$OA_1 = OM$$ в другую сторону).
Через $$A_1$$ проведите прямую $l_1 \parallel l$ .

При $$k < 0$$ образ точки лежит по другую сторону от центра, поэтому $$l_1$$ — по другую сторону от $$O$$ , вдвое ближе к нему, чем $$l$$ .

Ответ

Прямая l₁ ∥ l по другую сторону от O, вдвое ближе к O, чем l

Почему так

При k < 0 образы точек лежат за центром, а прямая переходит в параллельную.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 3

Условие (кратко)

То же построение образа прямой l (O ∉ l) для гомотетии с центром O и k = −3.

Решение

Возьмите точку $A \in l$ , проведите прямую $$AO$$ .
На продолжении луча $$OA$$ за точку $$O$$ отложите $OA_1 = 3 \cdot OA$ .
Через $$A_1$$ проведите прямую $l_1 \parallel l$ .

Прямая $$l_1$$ лежит по другую сторону от $$O$$ , втрое дальше от центра, чем $$l$$ .

Ответ

Прямая l₁ ∥ l по другую сторону от O, втрое дальше от O, чем l

Почему так

Прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную; знак минус переносит её за центр.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 4

Условие (кратко)

То же построение образа прямой l (O ∉ l) для гомотетии с центром O и k = 3.

Решение

Возьмите точку $A \in l$ , проведите луч $$OA$$ и отложите на нём $OA_1 = 3 \cdot OA$ .
Через $$A_1$$ проведите прямую $l_1 \parallel l$ .

Прямая $$l_1$$ лежит по ту же сторону от $$O$$ , что и $$l$$ , втрое дальше от центра. Заметим: образы $$l$$ при $$k = 3$$ и $$k = -3$$ симметричны друг другу относительно точки $$O$$ .

Ответ

Прямая l₁ ∥ l по ту же сторону от O, втрое дальше от O, чем l

Почему так

Образ прямой — параллельная прямая через образ одной её точки.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки